Ürün olmayan bir durumu bir ürün durumuna dönüştürebilen iki taraflı üzerinden birim devletler

Dec 20 2020

İki parçalı bir kuantum durumunu düşünün $\rho_{AB}$ sonlu boyutlu Hilbert uzaylarının bir çarpımı üzerinde $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$. Üniter var mı$U$ bitmiş $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ öyle ki:

  • Herhangi bir bipartite için $\rho_{AB}$azaltılmış yoğunluk matrisi bitti $A$ Korundu $\mathrm{tr}_B{[U(\rho_{AB})U^*]} = \rho_A$.
  • Önceden verilen bazıları için$\sigma_{AB}$çıktı bir ürün durumudur: $U(\sigma_{AB})U^* = \sigma_A \otimes \omega_B$ (nerede $\omega_B$ herşey olabilir).

Ayrıca, bu tür mülklerin yalnızca keyfi olarak kalabileceği durumla da ilgileniyorum. $\epsilon >0$ doğruluk.

Yanıtlar

3 AdamZalcman Dec 20 2020 at 07:20

İlk koşul, örneğin formun üniterleri tarafından karşılanır $U = e^{i\theta}I_A \otimes U_B$ nerede $I_A$ alt sistemdeki kimlik $A$, $U_B$ alt sistemdeki herhangi bir üniterdir $B$ ve faz faktörü $e^{i\theta}$ Alakasız.


İkinci koşulu ele alalım. Durumun tüm eyaletler için garanti edilemeyeceği ortaya çıktı$\sigma_{AB}$. Daha doğrusu, devletler var$\sigma_{AB}$ öyle ki her üniter için $U$ ve her eyalet $\omega_B$ alt sistemin $B$ sahibiz $U\sigma_{AB}U^* \ne \sigma_A \otimes \omega_B$. Bu, iki olgunun bir sonucudur: üniter dönüşümlerin yoğunluk matrislerinin özdeğerlerini koruduğu ve genel yoğunluk matrislerinin spektrumlarının (özdeğer kümeleri) ürün durumlarının spektrumları tarafından yeniden üretilemediği.

Daha resmi olarak, her üniter için şunu söyleyerek ilk gerçeği ifade edebiliriz. $U$, $\lambda$ özdeğeridir $\rho$ ancak ve ancak bu bir özdeğer ise $U\rho U^*$.

İkinci gerçeği göstermek için, ilk önce bir $n \times n$ yoğunluk matrisi bir $(n-1)$-basit. İzin Vermek$n_A = \dim \mathcal{H}$ ve $n_B = \dim \mathcal{H}_B$. Eğer$\lambda^A_i$ özdeğerlerini gösterir $\sigma_A$ ve $\lambda^B_j$ özdeğerlerini gösterir $\omega_B$ sonra özdeğerleri $\sigma_A \otimes \omega_B$ ürünler $\lambda^{AB}_{ij} = \lambda^A_i \lambda^B_j$. Böylece, özdeğerleri$\sigma_A \otimes \omega_B$ iki basitliğin Kartezyen ürününde yatar. $(n_A - 1) (n_B - 1)$gerçek parametreler. Öte yandan, sistemlerde keyfi bir eklem yoğunluğu matrisinin özdeğerleri$A$ ve $B$ yalan söylemek $(n_An_B - 1)$-basit. Bu nedenle, basit bir parametre sayma argümanıyla, ürün durumlarının spektrumları kümesinin, keyfi durumların spektrumlarının sıfır ölçüsü alt kümesi olduğunu görürüz.

Somut bir örnek için varsayalım ki $A$ ve $B$ kübitler ve bu $\sigma_{AB}$ özdeğerlere sahiptir $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$. İki takım sayı olmadığını unutmayın.$\{\lambda^A_1, \lambda^A_2\}$ ve $\{\lambda^B_1, \lambda^B_2\}$ öyle ki

$$ \{\lambda^A_1\lambda^B_1, \lambda^A_1\lambda^B_2, \lambda^A_2\lambda^B_1, \lambda^A_2\lambda^B_2\} = \{0, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\}. $$

Sonuç olarak, üniter yoktur $U$ öyle ki $U\sigma_{AB}U^* = \sigma_A \otimes \omega_B$.