Üst taraf siyahsa, diğer tarafın beyaz olma ihtimali nedir?

Question

Soru : Bir şapka, her iki tarafta% 30 beyaz, bir tarafta% 50 siyah ve diğer tarafta beyaz, her iki tarafta% 20 siyah olmak üzere birkaç kart içerir. Kartlar karıştırılır, ardından rastgele tek bir kart çekilir ve masaya yerleştirilir. Üst taraf siyahsa, diğer tarafın beyaz olma ihtimali nedir?

Benim girişimim : Koşullu olasılık tanımını kullanarak şunu elde ederiz:$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$

Ama asıl cevap 5/9. Nerede hata yaptım?

Answer 1

O kadar basit değil.

Seçilen kartın üst tarafı siyah olduğu olasılığıdır değil $0.7$ ve işte nedeni:

Var $0.2$Her iki tarafı da siyah olan bir kart seçme şansı. Yeterince kolay ... Ancak,$0.5$siyah / beyaz kart ihtimali varsa, hangi tarafın yukarıya dönük olduğunu hesaba katmamız gerekir. Her iki tarafın da eşit olasılıkla öne çıkabileceğini varsaymak doğal görünüyor. Yani bir$0.5^2$Siyah / beyaz bir kartın seçilmesi ve siyah tarafın yukarı dönük olması, siyahın seçilen kartın üst tarafı olma olasılığını$0.2 + 0.5^2$

Şimdi bu gerçek gün ışığına çıkarıldığına göre, belki de sorunu buradan bitirebilirsiniz!

Answer 2

Bunu düşünmenin bir yolu, kartın seçildiği olayları + yönünü analiz etmektir. Yani 3 etkinliğimiz (WW, BW, BB) yerine 4 etkinliğimiz var (WW, BW, WB, BB).

O zaman olasılıklar

WW:% 30

Siyah Beyaz:% 25

WB:% 25

BB:% 20

Rastgele bir kart aldığımızda ve onu rastgele bir yönde yerleştirdiğimizde, üstte siyah olduğunu görürüz, bu yüzden BW veya BB olabilir. % 25 BW olma ihtimali ve% 20 BB olma ihtimali var, yani$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.

Answer 3

Bunu bir kart seçmek değil, (bazı kartların) bir tarafını seçmek olarak düşünüyorum. Ve sahip olduğumuzu varsayalım$100$kartları. Yani rastgele birini seçersiniz$200$taraflar. Sonra var$50\cdot1+20\cdot2=90$siyah taraflar. Bunların,$50$diğer tarafta beyaz ile gel. Yani$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ beyaz diğer taraf için şans.