Üstel operatörlerin çözülmesi ve yeniden düzenlenmesi nasıl çalışır?

Question

Çeşitli kaynaklarda Lie gruplarını çağırarak, $$e^{\alpha_1 g_1+\alpha_2 g_2 + \dots} = e^{\beta_1 g_1}e^{\beta_2 g_2}\dots $$ nerede $g_i$ bir Lie algberasının öğeleridir.

Örneğin, kuantum optiğinde iki modlu sıkıştırma operatörünü ele alalım: $$e^{-\xi\hat{a}\hat{b}+\xi^*\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} = e^{-\frac{\xi^*}{|\xi|}\tanh|\xi|\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} e^{-\ln\cosh|\xi| \left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{b}^\dagger\hat{b}+1\right)} e^{\frac{\xi}{|\xi|}\tanh|\xi| \hat{a}\hat{b}}.$$

Diğer birkaç örnek yer değiştirme ve tek modlu sıkıştırma operatörleri olabilir.

Sorum şu, bu gibi operatörleri çözebileceğimiz ve onları yeniden sıralayabileceğimiz koşullar nelerdir?

Answer 1

Bu klasiğin III.Bölümü, yöntemi göstermektedir. İnce matematiği atlayacağım ve sizin özel örneğiniz için kovalamacayı keseceğim, önemsiz ξ gerçek durumunu ele alacağım ... genel şeyleri kendi memnuniyetinize göre yaparsınız veya yukarıdaki @ ZeroTheHero'nun yorumundaki referansı kontrol edersiniz.

Bu, operatörlerin üstelleri arasındaki bir kimliktir. Lie grup teorisinde, bu tür üstellerin (grup elemanlarının) bileşimi tek bir grup elemanına denk gelir: bu operatörlerin iç içe geçmiş komütatörlerinin doğrusal bir kombinasyonunun üssü (lhs'nizin "Lie cebiri"). Tüm komütatörler, hatta bunların bir sonsuzluğu, nihayetinde sonlu sayıda operatöre, sonlu boyutlu bir Lie cebirine yakındır. (Sonsuz boyutlu Lie cebirleri de vardır, ama oraya gitmeyelim ...)

Öyleyse, örneğinizdeki Lie cebiri nedir? Bu su (1,1) , ama endişelenme. Bunu Pauli matrislerine eşleyeceğim, bu yüzden sadece onların komutasyon ilişkilerini hatırlamanız gerekiyor , isimleri ve benzer Lie cebirlerini bile bilmiyorsunuz; bilmeniz gereken tek şey, bu matrislerin cebirin aslına sadık bir temsilidir: tüm komütasyon ilişkilerini tam olarak yeniden üretirler.

Öyleyse tanımla $$ \sigma^+\equiv i a^\dagger b^\dagger, \qquad \sigma^-\equiv i a b, \qquad \sigma_3\equiv 1+ a^\dagger a+ b^\dagger b, $$ ve bunların bu Lie cebirine uyduğunu doğrulayın, $$ [\sigma_3,\sigma^{\pm}]= \pm \sigma^{\pm}, \qquad [\sigma^+,\sigma^-]= \sigma_3. $$

• Artık Pauli matrislerinin de bu Lie cebirine uyduğunu biliyorsunuz , bu yüzden eğer onlar için geçerliyse$$ e^{i\xi(\sigma^-- \sigma^+)} = e^{i \tanh \xi ~\sigma^+ } e^{-\ln \cosh \xi ~ \sigma_3} e^{-i \tanh \xi ~\sigma^-} , $$ o zaman CBH kombinatorikleri operatörleriniz için de aynı olur ve kimliğiniz kalır.

Aslında, lhs ama $$ e^{\xi \sigma_2}= \cosh \xi ~ 1\!\!1 +\sinh \xi ~ \sigma_2~. $$ İki üstelsıfır üslerin ve köşegen ortadaki üslerin yardımıyla rhs, $$ (1\!\!1 + i \tanh \xi ~\sigma^+ ) ~~\operatorname{diag}(1/\cosh \xi , \cosh \xi) ~~(1\!\!1 - i \tanh \xi ~\sigma^- )\\ =\cosh \xi ~ 1\!\!1 -\sinh \xi ~ \sigma_2~, $$yukarıdakinin karmaşık eşleniği. Hmmmm ...

Küçük ξ alarak ve genişletilmiş üstelleri karşılaştırarak görüldüğü gibi, belirttiğiniz kimliğinizin sol tarafında keskin olmayan işaretler olduğuna inanıyorum !

Her durumda, sürüklenmeyi alırsınız ...

Yöntemin çok yönlülüğünü görmek için Prob 5'i buradan kontrol edin .