Yansıma ilkesi ve evrenler
Kategori-teorik tartışmalarda, genellikle tüm değişmeli grupların kategorisine veya tüm kategorilere, vb. Bakma eğilimi vardır, bu da hızlı bir şekilde olağan küme-teorik problemlere yol açar. Grothendieck evrenleri kullanılarak bunlardan genellikle kaçınılır. Küme-teorik dilde, erişilemeyen bazı kardinaller$\kappa$ -- bunun anlamı şudur ki $\kappa$ sayılamaz bir kardinal, öyle ki herkes için $\lambda<\kappa$, Ayrıca $2^\lambda<\kappa$ve herhangi bir set için $<\kappa$ birçok set $S_i$ boyut $<\kappa$ayrıca sendikaları büyüklüğünde $<\kappa$. Bu, sahnenin$V_\kappa\subset V$ "boyut setleri $<\kappa$"başlı başına bir ZFC modelidir - güç kümeleri veya birlik alma gibi işlemlerden herhangi birini kümeler üzerinde uygulayarak, asla ayrılamazsınız $V_\kappa$. Bu kümeler daha sonra "küçük" olarak adlandırılır ve sonra küçük değişmeli grupların kategorisi kesinlikle iyi tanımlanır.
Tarihsel olarak, bu yaklaşım ilk olarak Grothendieck tarafından kullanıldı; daha yeni bir temel metin, Lurie'nin$\infty$-kategoriler. Bununla birlikte, kullanımları her zaman bir şekilde bir tepki yarattı, bazı insanlar ZFC'nin ötesindeki aksiyomların yerleşik literatüre girmesine izin vermiyor. Örneğin, bir noktada, Fermat'ın Son Teoreminin şimdi McLarty tarafından çözülen ZFC'de kanıtlanıp kanıtlanmadığı konusunda uzun bir tartışma olduğunu düşünüyorum. Daha yakın zamanlarda, kanıtları Lurie'nin çalışmasına atıfta bulunan teoremler için benzer argümanların ortaya çıktığını gördüm. (Şahsen, bu konuda güçlü hislerim yok ve argümanları her iki şekilde de anlıyorum.)
Öte yandan, daha yakından bir inceleme, evrenlerin herhangi bir şekilde kullanılmasının aslında gereksiz olduğunu her zaman ortaya çıkarmıştır. Örneğin, Stacks Projesi evrenleri kullanmaz. Bunun yerine, ( Etiket 000H'ye bakın ) hipotezi etkili bir şekilde zayıflatır.$\kappa$ sayılamayan eş sonluluğun güçlü bir sınırı gibi bir şeye kesinlikle erişilemez, yani: herkes için $\lambda<\kappa$, birinde var $2^\lambda<\kappa$ve ne zaman sayılabilir bir set koleksiyonunuz varsa$S_i$ boyut $<\kappa$ayrıca $S_i$ boyuta sahip $<\kappa$. ZFC, böyle bir$\kappa$ve değişmeli gruplar kategorisinde yapılmasının düşünülebileceği hemen hemen her argüman aslında aynı zamanda kategorisinde de işe yarar. $\kappa$- bunun için küçük değişmeli gruplar $\kappa$. Biri daha karmaşık argümanlar yaparsa, buna göre ilk hipotez güçlendirilebilir.$\kappa$. Bu oyunu kendim oynama fırsatım oldu, sonuç için www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf sayfasının 4. Bölümüne bakın . Bu deneyimden, Lurie'nin "Yüksek Topos Teorisi" ni veya herhangi bir benzer kategori-teorik çalışmasını benzer şekilde, erişilemeyen tüm kardinalleri kaldıracak şekilde yeniden yazabileceğinden oldukça eminim.$\kappa$ yukarıdakiler gibi özelliklerle.
Aslında, bunun her zaman mümkün olduğunu garanti eden bir ZFC teoremi var gibi görünüyor , yansıma ilkesi ( örneğin, Stacks projesinin Tag 000F'de kısaca tartışılmıştır ) . Yani, herhangi bir küme teorisinin herhangi bir sonlu formülü kümesi için, yeterince büyük bazı formüller vardır.$\kappa$ öyle ki, kabaca konuşursak, bu formüller $V_\kappa$ eğer ve sadece tutunurlarsa $V$. Görünüşe göre bu, herhangi bir sonlu formül seti için, bazılarının bulunabileceği anlamına gelir.$\kappa$ öyle ki $V_\kappa$bu formüllere göre bir evren gibi davranır, ama lütfen yansıtma ilkesine dair çok saf anlayışımla beni düzeltin! (Bununla ilgili bir gerçek, ZFC'nin, ZFC aksiyomlarının herhangi bir sonlu parçasının tutarlılığını kanıtlamasıdır.)
Öte yandan, herhangi bir matematiksel metin yalnızca sonlu sayıda formül içerir (bir "teorem şeması" belirtmediği sürece, ki bu genellikle böyle bir şey olmadığına inanıyorum). Bu nedenle soru biraz kışkırtıcı bir şekilde ifade edilir:
Yansıma ilkesi, Yüksek Topos Teorisini evrenlerin kullanımından kaçınacak şekilde yeniden yazmanın mümkün olması gerektiğini mi ima ediyor?
Düzenleme (28.01.2021): Tüm çok faydalı cevaplar için çok teşekkürler! Sanırım şu anda durumun daha net bir resmine sahibim, ancak hala sorunun cevabının ne olduğundan tam olarak emin değilim.
Anladığım kadarıyla (kabaca) bu yöndeki en iyi meta teorem şudur (HTT'ye özel). HTT'nin son derece erişilemeyen iki kardinali düzelttiğini hatırlayın$\kappa_0$ ve $\kappa_1$, böylece küçükler için yer açıyor $V_{\kappa_0}$), büyük (inç $V_{\kappa_1}$) ve çok büyük (inç $V$) nesneler. Daha sonra, aşağıdaki aksiyom sisteminde HTT'yi okumaya çalışabilirsiniz (bu, temelde Feferman'ın "Kategori teorisinin küme-teorik temelleri" başlıklı makalesinden biridir ve aşağıdaki Rodrigo Freire'nin cevabında da önerilmiştir).
(i) Olağan ZFC aksiyomları
(ii) Diğer iki sembol $\kappa_0$ ve $\kappa_1$kardinal oldukları aksiyomları ile $\kappa_0$ sayılamaz ve $\kappa_1$ daha büyük $\kappa_0$.
(iii) Her formül için şunu söyleyen bir aksiyom şeması $\phi$ küme teorisinin $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ ve $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$.
Daha sonra yansıtma ilkesi göstermek için kullanılabilir (ispatın bir taslağı için aşağıdaki Rodrigo Freire'nin cevabına bakın):
Teorem. Bu aksiyom sistemi ZFC'ye göre ihtiyatlıdır. Başka bir deyişle, bu biçimsel sistemdeki herhangi bir teorem,$\kappa_0$ ve $\kappa_1$ aynı zamanda bir ZFC teoremidir.
Bu kesinlikle sahip olmak istediğim sonuç.
Dikkat $V_{\kappa_0}$ ve $V_{\kappa_1}$ ZFC'nin modelleridir, ancak (kritik olarak!) bu biçimsel sistem içinde kanıtlanamaz, çünkü ZFC sonlu olarak aksiyomlaştırılamaz ve yalnızca her bir ZFC aksiyomu (iii) tarafından konumlandırılır.
Bu aksiyom sistemiyle ilgili güzel bir şey, "bu teoremi küçük kategoriler için kanıtladık, ancak daha sonra onu büyük kategorilere de uygulayabiliriz" şeklindeki ara sıra argümanlara açıkça izin vermesidir.
O zaman daha kesin bir soru şudur:
HTT'nin argümanları bu resmi sistemde işe yarıyor mu?
Mike Shulman, Bölüm 11 https://arxiv.org/abs/0810.1279buradaki potansiyel sorunun ne olduğuna dair çok net bir açıklama veriyor. Yani bir setiniz varsa$I\in V_{\kappa_0}$ ve setler $S_i\in V_{\kappa_0}$ için $i\in I$, birliğin birliği olduğu sonucuna varmanıza izin verilmez. $S_i$ içinde $V_{\kappa_0}$. Bu sonuç, yalnızca işlevin$i\mapsto S_i$ ayrıca tanımlanmıştır $V_{\kappa_0}$ (ya da eğer $I$Ekstra sayılamayan eş-sonluluk varsayımı ile sayılabilir). Pratikte bu, kişi bir şeyin "küçük" olduğunu iddia etmek istediğinde (yani$V_{\kappa_0}$), bu yargı yalnızca nesnelerle değil, aynı zamanda morfizmlerle de ilgilidir. Bunun gerçekte ne kadar bir problem olduğu benim için şimdi net değil, onun hakkında daha fazla düşünmem gerekecek; Aslında bu resmi sistemi karşılamak için HTT'yi okumanın oldukça kolay olduğunu hayal edebilirim. Shulman, bu uyarı ile, birleşik fonksiyon teoreminin kanıtlanabileceğini ve Lurie'nin yanıtlarında söylediği gibi, HTT'deki argümanların benzer küme-teorik karmaşıklığa sahip olduğunu söylüyor. Bununla birlikte, sorunun cevabının "Evet, yazıldığı şekliyle" veya daha doğrusu "Muhtemelen evet, ama biraz çaba sarf etmelisiniz" veya aslında "Pek değil" olup olmadığı konusunda bir yargıya varmak istiyorum. (İçtenlikle, uzmanların kabaca cevabın bu spektrumda nereye denk geldiği konusunda anlaşabileceklerini umuyorum.)
Son bir açıklama: "Sayılamazlık" varsayımını biraz keyfi bulabiliriz; neden biraz daha büyük sendikalara izin vermiyorsunuz? Bunu halletmenin bir yolu, bir sembol eklemektir.$\kappa_{-1}$ aynı özelliklere sahip ve bunun yerine $\kappa_0$ daha büyük $\kappa_{-1}$. Benzer şekilde, sınırı değiştirmek isteyebilirsiniz.$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ biraz daha güçlü bir bağ ile $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$söyle. Yine, eğer işleri basitleştirirse, o zaman bir başkasını sıkıştırabilir$\kappa_{1/2}$ arasında, böylece $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ ve $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$. Bu şekilde, bazı ispatlarda görünen "standart" nesnelerden herhangi birinin sayılabilir boyutta kalıp kalmayacağı veya yine de eş limitler alıp alamayacağı konusunda endişelenmenize gerek kalmaz.$V_{\kappa_1}$ dizin kümeleri tam olarak boyutta olmadığında $\kappa_0$ ama biraz manipüle edildi.
Not: Sadece şimdi tüm ilgili önceki MO sorularını ve cevaplarını buluyorum. Çok alakalı olanlardan bazıları Joel Hamkins'in burada ve burada verdiği cevaplardır .
Yanıtlar
Bir uzvun dışına çıkacağım ve HTT kitabının asla yerine koymaktan daha güçlü bir şey kullanmadığını önereceğim. $\Sigma_{15}$-küme teorisinin formülleri. (Buraya$15$ Rastgele seçilmiş büyük bir sayıdır ve HTT, özellikle set teorisi hakkında olmayan rastgele seçilmiş bir matematik kitabıdır.)
Gabe'in orijinal cevabım hakkındaki yorumunu yansıtırken, yazdıklarımın yanıltıcı olduğunu düşünüyorum çünkü iki ayrı (ancak ilişkili) iddiayı birleştiriyor:
Kategori teorisinde kesinlikle erişilemeyen kardinallerin varlığına gerçekten ihtiyaç yoktur.
Kategori teorisinde ZFC'nin tam gücüne gerçekten ihtiyaç yoktur.
Bu ifadelerin her ikisine de katılıyorum, ancak 1) 'den birini ikna etmenin en iyi yolunun 2)' yi bir yansıtma ilkesiyle birleştirmek olmadığını düşünüyorum: yani, kesinlikle erişilemeyen bir kardinalin kullanımını değiştirmeye çalışılmamalıdır. $\kappa$ tek tek $V_{\kappa}$ ZFC'nin büyük bir bölümünü modeller.
Gördüğüm kadarıyla, evrenlerin çözdüğü "sorun" iki tür muhakemenin kombinasyonunu haklı çıkarmaktır:
A) Bazen küçük kategorilerle ilgili teoremleri ispatlamak yararlı olabilir. $\mathcal{C}$ Bunları güzel ek özelliklere sahip "büyük" kategorilere (örneğin, Yoneda yerleştirmeyi kullanarak) yerleştirerek: örneğin, limitlerin ve eş limitlerin varlığı.
B) Büyük kategoriler de kategorilerdir, bu nedenle genel olarak kategoriler için geçerli olan herhangi bir teorem, büyük kategoriler için de geçerli olmalıdır.
Yalnızca B) için endişeleniyorsanız, o zaman bir yansıtma ilkesi uygun olabilir. Kardinal seçimi$\kappa$ öyle ki $V_{\kappa}$ ZFC'nin büyük bir bölümünü karşıladığında, "küçük kategori" yi "ait olan kategori" olarak yeniden tanımlayabilirsiniz. $V_{\kappa}$"ve" büyük kategori "," kategorinin mutlaka ait olmadığı anlamına gelir $V_{\kappa}$"ve isteyebileceğiniz tüm temel teoremlerin her iki durumda da geçerli olduğundan emin olabilirsiniz.
Ama aynı zamanda A) için endişeleniyorsanız, bu ille de yardımcı olmaz. Bir kategoriyle başladığını varsayalım$\mathcal{C}$ ait $V_{\kappa}$ve Yoneda yerleştirmesinin bir versiyonunu istiyorsunuz. Doğal bir tahmin,$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ boyut grupları kategorisine $<\tau$ (veya bunun bazı eşdeğer modeli), bazı kardinaller için $\tau$. İlk tahmin, almanız gereken$\tau = \kappa$ama bence bu sadece mantıklı $\kappa$kesinlikle erişilemez (aksi takdirde bazı Hom setleri çok büyük olacaktır). Her durumda, bu yapının iyi özelliklere sahip olduğunu garanti edin , kardinalin farklı özelliklerini talep etmek isteyeceksiniz.$\tau$. Örneğin, bu ön aşama kategorisinin birçok eş limitine sahip olmasını istiyorsanız, o zaman$\tau$büyük bir eş nihailiğe sahip olmak. Ve ne tür ek varsayımlar yapmanız gerekebileceğini düşünmeye başlarsanız, başladığınız yere geri döndünüz: Ne tür kardinalite tahminlerinin,$< \tau$"tüm setlerin ön aşamaları kategorisine iyi bir yaklaşımdır. Dolayısıyla, yansıtma ilkesi bu sorunlardan kaçınmanıza gerçekten yardımcı olmuyor.
(Düzenleme: Yazdıktan sonra aşağıdaki metnin çoğunlukla Peter'ın orijinal gönderisini yinelediğini fark ettim. Ancak birileri yararlı bulursa diye burada bırakacağım.)
ZFC gibi bir şeyde titiz bir resmileştirme istiyorsanız, muhtemelen yapılacak en iyi şey, büyük kategorileri tamamen ortadan kaldırmaktır. O halde B) bir sorun değil. A) 'nın üstesinden gelmek için, bahsetmek isteyeceğiniz birçok "büyük" kategorinin belirli bir şekilde ortaya çıktığını belirtmeme izin verin: küçük bir kategori ile başlar$\mathcal{C}$ halihazırda belirli türde eş sınırlara sahip olan ve resmi olarak genişleyen $\mathcal{C}$ daha büyük bir kategori yapmak $\mathcal{C}^{+}$keyfi eş limitleri olan (başladığınızları değiştirmeden). Bu şekilde ortaya çıkan kategorilere yerel olarak gösterilebilir denir ve bunun için basit bir formül vardır.$\mathcal{C}^{+}$: bu, işlevlerin kategorisidir $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ Başladığınız sınırları (yani, $\mathcal{C}$).
Şimdi, bunu küçük kategoriler dünyasında taklit etmek istiyorsanız, bunun yerine bazı önemli $\kappa$ ve bunun yerine functorları düşünün $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\kappa$} \}$, bu küçük bir kategoriye eşdeğerdir $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$. Karşılaştığınız soru, bunun büyük kategori için yeterince iyi bir yedek olup olmadığıdır.$\mathcal{C}^{+}$yukarıda. Örneğin, çok fazla sınırı ve eş sınırı var mı? Tüm eş sınırlara sahip olmasını istemek mantıksızdır , ancak bunun yerine aşağıdakileri sorabilirsiniz:
S) Kategori $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ boyut diyagramları ile indekslenmiş eş limitler var $< \kappa$?
Q) 'nun yanıtı "genel olarak hayır, ancak eğer $\kappa$ güzel bir şekilde seçilmiş ". Örneğin, sonsuz bir kardinaliniz varsa $\lambda$ boyutunu sınırlamak $\mathcal{C}$ ve başladığınız colimit diyagramlarının sayısı, o zaman (i) alarak garanti edebileceğinize inanıyorum $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (ve kategori $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$beklenen evrensel özellik ile karakterize edilebilir). Dahası, bunu kanıtlamak için herhangi bir değiştirmeye ihtiyacınız yoktur.
Şimdi şunları da sorabilirsiniz:
S ') Kategori mi $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ boyut diyagramları tarafından indekslenen limitlere sahip $< \kappa$?
Burada cevap genellikle "hayır" olacaktır. $\kappa$kesinlikle erişilemez. Ancak, yalnızca belirli bir türdeki sınırlarla ilgileniyorsanız (örneğin, Grothendieck topoi üzerinde çalışıyorsanız, özellikle sınırlı sınırlarla ilgileniyor olabilirsiniz), o zaman yanıt yine "evet$\kappa$ iyi seçilmiş ". Bu, çok az ZFC kullanarak kanıtlayabileceğiniz bir şey.
Şimdi benim iddiam, deneyimlerime dayanarak, yukarıdaki tartışmanın "küçük" ve "büyük" kategoriler arasındaki ayrımı keşfetmeye çalışırken karşılaşacağınız türden soruların temsilcisi olduğu (kesinlikle bu tür şeylerin orjinal sorunun sorduğu kitabımda geliyorum). Pratikte, hiçbir zaman büyük bir kategorinin tamamı hakkında konuşmanıza gerek yoktur.$\mathcal{C}^{+}$; yeterince büyük bir parça oluşturmak yeterlidir (örneğin$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) görmek istediğiniz, seçerek düzenleyebileceğiniz özelliklere sahip olmak $\kappa$ dikkatli.
ZFC'de işlerin nasıl resmileştirildiği konusunu görmezden gelmeyi ve olayları "büyük" kategori açısından ifade etmeyi kavramsal olarak daha açık buluyorum. $\mathcal{C}^{+}$, "küçük" tahminlerine geri dönerek $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$sadece bir kanıtta yardımcılar olarak (ki bu kaçınılmaz olarak yine de bir yerlerde ortaya çıkacaktır!). "Evrenler" in çağrılması, sadece ZFC'nin aksiyomatik çerçevesine sözde hizmet ederken bu şekilde yazmanın bir yoludur ve kesinlikle gereksizdir.
Henüz belirtilmediğini düşündüğüm bir şeyden bahsetmek istiyorum. Asıl soru şununla başladı:
Küme-teorik dilde, erişilemeyen bazı kardinaller $\kappa$... Bu, sahnenin $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ "boyut setleri $<\kappa$"kendisi bir ZFC modelidir.
Ancak ifade $V_\kappa$ bir ZFC modeli, bunu söylemekten önemli ölçüde daha zayıftır $\kappa$erişilemez. Aslında, eğer$\kappa$ erişilemezse $\{ \lambda\mid V_\lambda$ bir ZFC modelidir $\}$ sabit $\kappa$. Bu nedenle, erişilemeyen en küçük (eğer varsa) en küçüğünden çok daha büyüktür.$\kappa$ öyle ki $V_\kappa$ ZFC modelleri.
Yansıma ilkesi yararlı olduğu ölçüde (ki, diğer bazı yanıtların da işaret ettiği gibi, en azından bir soru sorulabilir), yalnızca bir Grothendieck evreninin ilgili özelliğinin bir ZFC modeli olduğu argümanlar için doğrudan yararlıdır. Bununla birlikte, en azından saf bir şekilde formüle edildiğinde, kategori teorisinin bundan daha fazlasını kullandığı pek çok yer vardır. Spesifik olarak, bir Grothendieck evreninin ikinci dereceden yer değiştirmeyi karşıladığı gerçeğini kullanıyoruz , yani herhangi bir fonksiyon$f:A\to V_\kappa$, nerede $A \in V_\kappa$, bir imaja sahiptir. Bunu söylüyorum$V_\kappa$ZFC modelleri yalnızca birinci dereceden değiştirmeyi karşıladığını ima eder, bu da yalnızca böyle bir$f$ bir resmi varsa $f$ tanımlanabilir $V_\kappa$ mantıksal bir formülle.
İkinci dereceden yer değiştirmenin, genellikle formüle edildiği gibi, evren temelli kategori teorisinde her yerde bulunduğuna inanıyorum. Örneğin, eğer${\rm Set}_\kappa$ kümelerin kategorisini gösterir $V_\kappa$, sonra bunu kanıtlamak için ${\rm Set}_\kappa$ Etki alanı küçük olan herhangi bir işlevci için bir sınır ve eş sınırlama kabul etmesindeki naif anlamda "eksiksiz ve tamamlayıcıdır", böyle bir işlevcinin görüntülerini tek bir küme halinde toplamak için ikinci dereceden değiştirmeye ihtiyacımız var.
Şimdi, bundan kaçınmak için kategori teorisini yeniden formüle etmenin yolları var. McLarty'nin makalesi bunu bazı set-teorik yollarla yapıyor. Kategorik olarak tutarlı bir yaklaşım, saf "büyük kategorileri" (yani nesneleri ve morfizmaları ait olmayan kategoriler) değiştirmektir.$V_\kappa$) büyük ${\rm Set}_\kappa$- indekslenmiş kategoriler . Ancak bu, elle gerçekleştirilecek çok daha önemli bir formülasyon türüdür.
Doğru anladıysam, formdaki bir ifadenin peşindesiniz:
"HTT'de evrenler kullanılarak bir şey kanıtlanmışsa, bazılarıyla sınırlandırılarak onlarsız da kanıtlanabilir. $V_\kappa$ için $\kappa$ yeterince geniş"
HTT hakkında daha fazla bilgiye sahip değilsek, bunun kesin cevabı, ZFC tutarlıysa böyle bir ifade olamayacağıdır.
Gerçekte, evrenlerin varlığının tutarsız olması (aslında tutarlı olduğunu kanıtlamak mümkün değildir) ve bu durumda, evrenler kullanılarak herhangi bir şey kanıtlanabilir ve bu nedenle böyle bir ifade, her şeyin kanıtlanabileceğini ima eder. yani ZFC tutarsızdır.
Neyin kanıtlanabileceği konusunda biraz özensiz davranıyorum, ama ana fikir orada
Elbette, HTT hakkında bir şeyler biliyoruz ve eğer dikkatlice okursak, evrenleri nerede kullandığını analiz edebiliriz ve bunların aslında ZC + değişiminin geçişli modelleriyle değiştirilebileceğini görebiliriz. $\Sigma_{15}$-Formüller, Jacob'un işaret ettiği gibi. Bu durumda, kanıtlanabilir bir şekilde bu kadar iyi davranılmış modeller olduğu için ($V_\kappa$, için $\kappa$iyi seçilmiş), bu bir problem değil; ve HTT , evrenler olmadan yeniden yazılabilir - ancak bu, HTT'de ne olduğu bilgisi olmadan kanıtlanamaz.
Bunun "ahlaki" yönü, çoğu ana kategori kuramsal sorularda, evrenlerin matematiğin gerçek bir parçası değil, zaman kazandıran bir cihaz olmasıdır.
Herhangi bir teorem $T$ nın-nin $\mathsf{ZFC}$ aşağıdaki aksiyomların sonlu bir alt kümesinden gelir $\mathsf{ZFC}$ veya işleri basit tutmak için $\mathsf{ZFC}$ aksiyom değiştirme şemasının sınırlı olduğu $\Sigma_n$ tahminler¹, buna seslen $\mathsf{ZFC}_n$. Şimdi$\mathsf{ZFC}$ve daha doğrusu $\mathsf{ZFC}_{n+1}$, keyfi olarak büyük kardinallerin varlığını kanıtlar $\kappa$, sayılamayan eş nihailiğin güçlü sınırları, öyle ki $V_\kappa$ bir modeldir $\mathsf{ZFC}_n$ve özellikle teoremin $T$ve öyle ki, dahası, herhangi birinin gerçek değeri $\Sigma_n$ deyim, içindeki parametrelerle $V_\kappa$ aynı $V_\kappa$(gerçek) evrende olduğu gibi. Bunları arayabiliriz$V_\kappa$ Güç setlerini almak gibi çoğu set-teorik işlem altında kapalı oldukları için "sınırlı evrenler", ancak değiştirmenin sayılabilir olması (kolaylık sağlamak için dahil edilmiştir) veya bir $\Sigma_n$yüklem; ve özellikle, varoluş ifadeleri ne olursa olsun kapatılırlar$T$ yapar.
Yani fikir, yukarıdakileri birleşime uygulamak olacaktır. $T$ Yüksek Topos Teorisinin bir parçası olduğunu düşündüğünüz tüm teoremlerden (ve önkoşul olarak kullanılan diğer teoriler) ve uygun olanı bulun. $n$. (Aslında bundan şüpheleniyorum$n=1$ Yeterli olmalı: Sıradan matematikte, aşağıdakileri takip etmeyen bir ikame örneği bulsam çok şaşırırdım. $\Sigma_1$-replacement.) Sonra $\mathsf{ZFC}_n$ kanıtlayacak $T$ (teorinin tüm teoremleri) ve $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ teoriyi kullanacak sonsuz sınırlı evren arzının varlığını kanıtlayacaktı.
Elbette, sonsuz bir döngüden kaçınmak için, bu teoremi (sonsuz bir arzın varlığını iddia eden teoremi) düşünemezsiniz.$V_\kappa$) teorinin bir parçası olmak veya daha büyük bir $n$.
Neyin mantıksal bir çelişki gibi görünebileceğini açıklamak için, burada, birçok modelin varlığının ifadesinin açıklığa kavuşturulması gerekir. $\mathsf{ZFC}_n$ kanıtlanabilir $\mathsf{ZFC}$ her biri için $n$, ancak tekdüze değil (kanıt ne kadar uzun ve $n$ büyür), yani $n$evrensel olarak nicelenmiş somut bir doğal sayı olmalıdır ( $n$) İfadesi değil de kanıtlanabilir$\mathsf{ZFC}$. Ancak teoriniz sabit olduğu ve aşağıdaki şekilde formüle edildiği sürece bu bir problem değildir.$\mathsf{ZFC}$ (bu, kendisinin "herhangi bir beton için" gibi metateoremler içermemesini gerektirir. $n$ aşağıdakileri ispatlayabiliriz $\mathsf{ZFC}$”). Bu nedenle, HTT için durumun bu olup olmadığından emin olmak size kalmıştır (ve yeterince cesursanız, uygun olanı bulun.$n$).
(Kardinallerin işin içine nasıl karıştığına dair bir fikir vermek gerekirse, kardinaller $\kappa$ öyle ki $V_\kappa$ bir modeldir $\mathsf{ZFC}_1$ sabit noktalarıdır $\gamma \mapsto \beth_\gamma$işlevi. Makul bir açıklama için herhangi bir umut olduğunu sanmıyorum.$\kappa$ öyle ki $V_\kappa$ bir modeldir $\mathsf{ZFC}_n$ herhangi bir beton için $n\geq 2$. Ayrıca bu soruya bakın .)
- Anlam en çok ile yüklemektedir $n$ varoluşsal niceleyicilerle başlayıp sınırlı nicelik belirteçleri içeren formül (formun anlamı) ile başlayan, sınırsız nicelik belirteçlerinin alternatif kümeleri $\forall x\in y$ veya $\exists x\in y$).
Tamam, bugünün çoğunu HTT'ye biraz detaylı bakarak bunu çözmeye çalışarak geçirdim. Epey bir yolculuk oldu; Bu süreçte bakış açımı kesinlikle birçok kez değiştirdim. Şu anda, bana öyle geliyor ki, cevap, HTT'nin yazıldığı şekliyle, bu resmi sistemde okunabilir. (Yani bu, saatlerden sonra birinin "Evet, bu açık" dediği şakadaki gibidir. Kesinlikle doğru yorumun seçilmesi gereken noktalar vardır, ancak herhangi bir matematiksel metinde olduğu gibi, zaten durum budur.) Yani bu cevapla, HTT'nin bu biçimsel sistemde okunabileceği, belirsizliğin ortaya çıkması durumunda bazı şeyleri nasıl yorumlayacağımı ve neden her şeyin bu şekilde okuması gerektiğini düşündüğümü biraz açıklamaya çalıştığım bir argüman geliştirmek istiyorum. Ama büyük olasılıkla önemli bir şeyi gözden kaçırmışımdır, bu yüzden lütfen beni düzeltin!
Tim Campion'un belirttiği gibi, ilk şeylerin çoğu sorunsuz çalışıyor - aslında, evrenlerden bahsetmiyor bile. Olmadığı sürece, her şey çalışır$V_{\kappa_0}$, içinde $V_{\kappa_1}$, ve $V$ve verilen aksiyom şeması, yapılan herhangi bir yapının uyumlu olacağını bile garanti eder.
Bölüm 5 ve 6'ya gelindiğinde daha dikkatli olunmalıdır. Bu bölümlerden bazı tanımları ve önermeleri üç farklı bakış açısıyla sunmaya çalışayım.
Klasik ZFC bakış açısı veya (aynı şekilde) von Neumann - Bernays - Gödel (NBG) teorisinden biri, kümelere ek olarak sınıflara da izin verir, böylece tüm kümelerin (sınıf boyutlu) kategorisinden bahsedebiliriz. $\mathrm{Set}$.
ZFC + Grothendieck evrenleri olan HTT'nin bakış açısı.
Feferman'ın küme teorisinin soruda belirtilen biçimdeki bakış açısı. (Aslında, bu eş final sınırlarına gerçekten ihtiyacım olup olmadığından artık emin değilim. Ancak bunların varsayılabileceğini bilmek güzel.)
Sorulan sorunun, kişinin ilk bakış açısıyla gerçekten ilgilendiğini varsaydığına dikkat edin ve diğerlerinde, yalnızca ilk ortam hakkında bir şeyi kanıtlamak için uygun oldukları sürece. Bu, Bölüm 5 ve 6'nın içeriğiyle uyumludur: gösterilebilir kategorilerin tüm teorisi, felsefi olarak da ilk ortama güzel bir şekilde uymaktadır.
Tamam, öyleyse gösterilebilir bir kategori olduğunu hatırlayın - bunun yerine kategorilere bağlı kalmama izin verin $\infty$-kategoriler, farkımız endişelerimiz için çok önemlidir - (sınıf boyutunda) bir kategoridir $C$ bu, tüm küçük eş sınırlamaları kabul eder ve öyle ki, bazı normal kardinaller için $\kappa$küçük bir kategori var $C_0$ ve bir denklik $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,
yani $C$ serbestçe birleştirilerek elde edilir $\kappa$-filtre edilmiş eş sınırlar $C_0$. (Özellikle,$C_0$ zorunlu olarak tam alt kategorisine eşdeğerdir $\kappa$-kompakt nesneler $C$.) Özellikle, gösterilebilir kategoriler az miktarda veriyle belirlenir. Ayrıca fikir şu ki$C$gerçekten tüm nesnelerin kategorisidir (kümeler, gruplar, her ne ise). Bu bakış açısı gerçekten en açık şekilde 1) 'de ifade edilirken, 2) ve 3) gösterilebilirlik kavramı aniden tekrar evrene bağlıdır ve birdenbire yine sadece küçük kümeler / gruplar / ...; o halde onlara göre küçük prezentabl diyeyim. Bu fikrin hem 2) hem de 3) için anlamlı olduğunu ve yalnızca şunlara bağlı olduğunu unutmayın.$V_{\kappa_0}$. Küçük-prezentabl bir kategori bu durumda özellikle küçük tanımlanabilir, bu yüzden yaşar$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$, burada bu dahil etme 2'de bir eşitliktir (ancak 3'te değil)).
2) 'de, genellikle küçük-gösterilebilir bir kategori, HTT'nin yaklaşımı olan özel bir tür büyük kategori olarak tanımlanır. Ama burada aslında biraz kafam karışıyor: Görünüşe göre iki functor kavramı var.$F: C\to D$: İçinde tanımlanabilenler $V_{\kappa_0}$, eşdeğer olarak $F\in V_{\kappa_0+1}$ (yani, $V_{\kappa_0+1}$ tam olarak sınıfları $V_{\kappa_0}$) veya içindeki tüm işlevler $V_{\kappa_1}$. Bana öyle bir şey gelmiyor ki herhangi bir functor$F: C\to D$ içinde $V_{\kappa_1}$ yatıyor $V_{\kappa_0+1}$, gibi $C$ ve $D$ kendileri sadece içinde yaşar $V_{\kappa_0+1}$. Bu iki kavram arasındaki fark, biri, tümü tanımlanabilir olan erişilebilir işlevlerle sınırlandırıldığında ortadan kalkar. 1) 'in gerçekten önemsememiz gereken ilk fikir olduğunu söylediğine dikkat edin! (Bu yazıyı yazmadan önce farkın farkında değildim.)
3) 'te, ilerlemenin uygun yolu, 1)' in dikte ettiği perspektifi kullanmaktır, bu da "$V_{\kappa_0}$- tanımlanamayan kategoriler ", yani içinde yaşıyorlar $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$. Bunları yine şöyle düşünebiliriz:$\kappa_1$-küçük kategoriler. İlk başta burada 2) ve 3) 'ün yaklaşımları arasında önemli bir fark olacağını düşünmüştüm, ancak aslında her iki durumda da biri erişilebilir işlevlerle kısıtlandığında uzlaştırılan iki farklı işlev kavramına ulaşıyor gibi görünüyor.
Ana teoremlerden biri, ek işlev teoremidir: $F: C\to D$tüm küçük eş-limitleri koruyan, prezentabl kategorilerin bir işleçidir, o zaman doğru bir eşleniği kabul eder. Bu teorem aslında ne anlama geliyor?
1), bir functor olduğu anlamına gelir $G: D\to C$ - ki bu özellikle formüllerle tanımlanabilir olması gerektiği anlamına gelir, çünkü sınıf boyutlu kategoriler arasındaki işlevler budur - (tanımlanabilir!) birim ve olağan koşulları karşılayan birleşik dönüşümlerle birlikte.
2) 'de, biri basitçe $C$ ve $D$ küçük olarak düşünüldüğünde $V_{\kappa_1}$ve sonra orada sağ ek noktanın varlığını ileri sürer. Daha fazla bilgi olmadan, bu aslında 1) 'de a priori olarak istediğimizi vermiyor gibi görünüyor.$G$(ve birim ve birim dönüşümlerinin) hepsi daha büyük evrende yatar. Ancak bu bilgiler hatırlanarak elde edilebilir.$G$ aslında erişilebilir (yukarıda belirtmeyi ihmal ettiğim, ancak dahil edilmesi gereken eş işlev teoreminin bir parçası) ve bu nedenle her şey bir küme üzerinde belirlenir.
3) 'te yine 1)' in sonucuna ulaşmak istersiniz, ancak bunu 2) 'de olduğu gibi önce bu tür verilerin varlığını kanıtlayarak yapmaya çalışabilirsiniz. $V_{\kappa_1}$ ve sonra erişilebilirliği kanıtlayarak, böylece her şeyin içinde yattığını $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Evrenlerin kullanıldığı 5. Bölümde birkaç erken yerde bunun nasıl işlediğini görelim.
Tanım 5.1.6.2: Let $C$tüm küçük eş sınırlamaları kabul eden bir kategori olun. Bir obje$X\in C$functor ise tamamen kompakttır.$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ ortaklaşa sunan $X$ küçük eş limitleri korur.
Buraya $\widehat{\mathrm{Set}}$ kümelerin (çok büyük) kategorisidir. $V_{\kappa_1}$. Yukarıdaki sistemlerde bu tanımın ne anlama geldiğini yorumlayalım.
Buraya $C$herhangi bir (muhtemelen sınıf boyutunda) kategoridir. Özellikle HTT'de "yerel olarak küçük" ün standart bir hipotez olmadığına dikkat edin, bu nedenle bu, iki nesne arasındaki morfizmaların bile uygun kümeler olmasına izin verir. Bu nedenle, functor gerçekten gitmeli$\widehat{\mathrm{Set}}$ve bu, bu ortamda konuşamayacağımız bir şey. Bu nedenle, bu itirazı karşılamak için şartın yeniden formüle edilmesi gerekir; bu zor olmamalı ama biraz iğrenç olabilir.
Sanırım tanımda ima ediliyor ki $C$ yer alan herhangi bir kategori $V_{\kappa_1}$. Bu kesinlikle 1) kurulumunu yakalarsa$C$ 1) 'den geldiği için küçük tanımlanabilir, sonra herhangi bir küçük colimit diyagramı $C$ otomatik olarak küçük tanımlanabilir.
Burada iki seçeneğimiz var: Ya 1'den biri ya da 2'den biri) ve bunlar farklı fikirler veriyor. Çatışma durumunda 1) 'den gelen perspektif doğru olanıdır, bu nedenle$C$küçük tanımlanabilirdir ve küçük tanımlanabilir diyagramların eş limitleri ile komütasyon istenir. Ancak, 1) 'de durumu formüle etmekte sorun yaşarken, 3)' deki eldeki evrenler, koşulun şimdi formüle edilebileceği anlamına gelir:$C$ eşzamanlı olmak $\widehat{\mathrm{Set}}$. Buraya$\widehat{\mathrm{Set}}$ setler mi $V_{\kappa_1}$.
Yani bu durumda, sonuç şudur: 3) yorum konusunda biraz dikkatli olunması gerekir, ancak 1) rehberliğinde kişi doğru tanımı verebilir; ve sonra sistem gerçekten yardımcı oluyor.
Önerme 5.2.6.2: Let $C$ ve $D$kategoriler olabilir. Sonra kategoriler$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ soldan ek fonksiyonların yüzdesi $C$ -e $D$, ve $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ sağ ek functor sayısı $D$ -e $C$ birbirine (kanonik olarak) eşdeğerdir.
Bu bakış açısına göre, bu önerme yalnızca $C$ ve $D$ aksi takdirde küçük $\mathrm{Fun}(C,D)$çok geniş. (Böyle functor kategorileri ne zaman dikkate alınmalıdır?$C$ ve $D$prezentabl (veya erişilebilir), ancak yalnızca erişilebilir işlevlerle kısıtlandığında. Yani bu 5. Bölümde daha sonra ortaya çıkacak bir tartışma.) O zaman ifade yeterince açık ve verilen kanıt geçerli.
Bu perspektifte, 1) 'deki ile aynı olduğunu düşünüyorum, tek fark aynı sonucu farklı bir evrende de formüle edebilir.
Burada aynı.
Bununla birlikte, mevcut haliyle, 1) 'de bu önerinin (henüz) geçerli olamayacağına dikkat edin. $C$ ve $D$prezentabl. 2) ve 3) 'te, (küçük-) prezentabl olanlar, sonucun geçerli olduğu özel büyük kategorilerdir. Bununla birlikte, işlev kategorilerinin ve bunların eşdeğerlerinin daha büyük bir evrende yaşadığını ve bunların ikisinde de yattığına dair hiçbir bilgi alamadığımızı unutmayın.$V_{\kappa_0+1}$ veya $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Bir sonraki önerme, kafatas kategorisini ele alır. $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$ve kanıt, homotopi-tutarlılık sorunlarını çözmek için daha büyük bir evrene geçişi içeren tipik bir argümandır.
Önerme 5.2.6.3: Let $f: C\to C'$ küçük kategoriler arasında bir functor olun ve $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ ile kompozisyon tarafından indüklenen ön tabaka kategorilerinin indüklenen funktoru olmak $f$. Sonra$G$ doğru bitişik $\mathcal P(f)$.
Buraya $\mathcal P(f)$ benzersiz küçük colimit-koruyan uzantısı olarak tanımlanır $f$ (Yoneda yerleştirmesinin altında).
Burada, her biri tanımlanabilen (olması gerektiği gibi) iki sınıf boyutunda kategorimiz ve bunların arasında işlevcilerimiz var. Önerme bizden (tanımlanabilir!) Birim ve ortak dönüşümler bulmamızı isteyecek ve bazı diyagramların değişmesini sağlayacaktır. Bu çok zor görünmüyor. Ama içinde$\infty$-kategoriler, functorları elle tanımlamak çok zordur, bu yüzden Lurie aslında böyle ilerlemiyor!
Buraya $\mathcal P(C)$ ve $\mathcal P(C')$özel büyük kategorilerdir. Lurie aslında kanıta büyük Yoneda yerleştirmesini uygular. Yani bu gerçekten sadece daha büyük bir evrende birim ve ortak birleşimleri üretiyor. Yukarıda tartışıldığı gibi, bu kanıtın aslında 1) 'de istediğimizi vermediğini düşünüyorum!
Lurie'nin yaptığı gibi verileri daha büyük bir "evren" de üretmek için tartışabiliriz. (Düzenleme: Aslında, Tim Campion'un işaret ettiği gibi, yazılanları haklı çıkarmak için minimal bir sapma yapmak gerekir. Cevabına yapılan yorumlara bakın.)
Bu nedenle, bu önermeyi okurken, sistem 2) veya 3), şimdiye kadar kanıtlanan ifadenin safça umut edebileceğinden daha zayıf olduğunu kanıtlayan zihinsel bir işaret koymalıdır. Ancak bu daha sonra her şeyin az miktarda veriyle belirlendiği gözlemlenerek düzeltilir.
Upshot: İlk başta 2) ve 3) arasında önemli bir fark olacağını düşünmüş olsam da, aslında (neredeyse) hiçbiri olmadığını düşünüyorum. Bir fark şudur ki$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ uygun bir katılımdır, ancak pratikte çevrelemeyi garanti etmenin yolu $V_{\kappa_0+1}$ tanımlanabilirliği kanıtlıyor gibi görünüyor $V_{\kappa_0}$ (örneğin, belirli işlevlerin erişilebilir olduğunu kanıtlayarak).
Tamam, şimdi bana bunun neden işe yaramadığını söyle! :-)
Bu soruyu cevaplamak, Yüksek Topos Teorisinden tam olarak ne istediğinize bağlıdır, çünkü yüksek mantıksal gücü ifade etmek, cebirsel geometri ve sayı teorisi için uygun bir şekilde birleştirilmiş mantıksal çerçeveyi ifade etmekten farklı bir amaçtır. Genel kategorik matematik için birleşik güçlü temeller iyi bir hedeftir ve buradaki birçok katılımcının hedefi gibi görünmektedir. Bu amaç için, bu soruya verilen yorumlarda ve cevaplarda söylenen her şey önemlidir. Ancak geometri ve sayı teorisindeki uygun çalışma, büyük bir mantıksal güç gerektirmez.
HTT, SGA'dan daha çok evrenlerle iç içe geçse de, ne HTT ne de SGA, (çok güçlü) yerine koyma aksiyomunu gerçek anlamda kullanmaz. Böylece Grothendieck'inkinden radikal bir şekilde daha zayıf olan "evrenleri" kullanabilirler. Tipik ve ilgili bir örnek olarak Grothendieck, aksiyom değiştirme şemasına yalnızca bir başvuruda bulundu. Bu, bir jeneratör setine sahip her AB5 kategorisinin yeterli enjeksiyona sahip olduğunun oldukça önemli kanıtıdır. Ve bu değiştirme kullanımı ortadan kaldırılabilir. İşe yaradı, ancak Grothendieck'in sonucunu almak için buna ihtiyacı yoktu.
Grothendieck'in ikame kullanımını genişletmek için: Reinhold Baer, 1940'larda, modüllerin (herhangi bir halka üzerinde) yeterli enjeksiyona sahip olduğunu kanıtlamak için (aksiyom değiştirme şemasını gerektiren) transfinite indüksiyonu kullandı. Bilinçli olarak yeni ispat tekniklerini araştırıyordu ve iyi bir sonuç aldı. Grothendieck'in Tohoku kadrosu, her AB5 kategorisini küçük bir jeneratör setiyle gösteren bir biçimde kanıtladı - ve birkaç yıl sonra Grothendieck bunun tam olarak topos kohomolojisi için ihtiyaç duyduğu teorem olduğunu buldu. Baer ve Grothendieck'in her ikisinin de vakıf kaygılarına bağlı olmayan pratik hedefleri vardı, ancak ikisi de vakıfları doğru bir şekilde kurmak istiyordu. Ve yaptılar. Ancak, aynı teoremleri, doğru bir şekilde, değiştirmeden, neredeyse aynı ispatlar ile, başlamak için yeterince büyük işlev kümeleri belirleyerek (güç seti kullanarak, ancak değiştirme değil) elde edebilecekleri ortaya çıktı. Aksiyom şemasının değiştirilmesini gerçekten gerektiren sonuçlar vardır. Ancak bu sonuçlar nadiren temel araştırmanın dışında ortaya çıkar.
1960'lardan bu yana çok farklı açılardan gelen birçok insan (bazı mantıkçılar, bazıları hoşlanmayan mantık), cebirsel geometri ve sayı teorisi bağlamında, Grothendieck'in evren aksiyomunun yüksek mantıksal gücünün aslında kullanılmamış bir yan ürünü olduğunu belirtmiştir. Grothendieck'in kohomoloji için birleşik bir çerçeve arzusu. Bu şimdi oldukça kesin hale getirilebilir: Sadece topozların türetilmiş fonksiyon kohomolojisini değil, aynı zamanda 2-topoz kategorisi ve türetilmiş kategorileri de içeren Grothendieck cihazının tamamı, Grothendieck tarafından resmileştirildiği gibi hemen hemen aynı şekilde resmileştirilebilir, ancak Zermelo-Fraenkel'in ve hatta Zermelo küme teorisinin çok altında mantıksal güç. Aynısı HTT için de geçerlidir. Geniş (ve nadiren kullanılan) ikame gücüne ihtiyacınız olmadığı sürece, erişilemez evrenler veya yansımalar olmadan elde edebilirsiniz . HTT için kanıt aslında verilmemiştir. Grothendieck'in evrenleri kullanması içindi . Aynı şeyin HTT için de işe yarayacağı açık görünüyor.
İhtiyaç duyulan mantıksal güç kayıtsız yollarla ifade edilmiştir: Basit Tip Teorisi (aritmetik ile), Sonlu Sıralı Aritmetik, Kümelerin Kategorisinin Temel Teorisi, Sınırlı Niceleyici Zermelo küme teorisi. Kabaca söylemek gerekirse, bir dizi doğal sayı varsayarsınız ve her kümenin bir güç kümesine sahip olduğunu varsayarsınız, ancak güç kümelerinin sınırsız yinelemesini varsaymazsınız. Oldukça naif bir evren teorisi, bunlardan herhangi biri üzerinde muhafazakar olarak verilebilir (Gödel-Bernays'in teorisinin ZFC'ye karşı muhafazakar olması) ve Grothendieck okulunun tüm büyük yapı düzeneği için yeterlidir.
Bir sabitin eklenmesiyle ZFC'den elde edilen ZFC'nin muhafazakar bir uzantısını düşünürdüm. $\alpha$ ve aşağıdaki aksiyomlar:
$\alpha$ bir sıra ($Ord(\alpha)$).
Cümle $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$orijinal dildeki her cümle için $\phi$ (aksiyom şeması).
$V_{\alpha}$ gibi davranır $V$(küme teorisinin dilindeki tüm cümleler için). İki (veya daha fazla) evrene ihtiyaç duyulursa, biri başka bir sabit eklenebilir$\beta$ karşılık gelen aksiyomlar ve aksiyom ile $\alpha<\beta$.
Ortaya çıkan teorinin ZFC'ye karşı ihtiyatlı olduğunun kanıtı kolaydır.
Varsayalım ki $\phi$ yeni aksiyomlardan kanıtlanabilir (aksiyomlar kullanılarak $\alpha$), içinde $\phi$orijinal dilde. Herhangi bir ispat sonlu olduğundan, sonlu çok sayıda cümle vardır$\phi_1$, ..., $\phi_n$ öyle ki
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
yeni aksiyomlar olmadan kanıtlanabilir. Bu nedenle aklınıza gelebilecek$\alpha$bir serbest değişken olarak ve yukarıdaki cümle ZFC'de kanıtlanabilir (sabitler teoremi). Dan beri$\alpha$ oluşmaz $\phi$, aşağıdaki sonuç ZFC'de kanıtlanabilir ($\exists$-Giriş):
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
Şimdi, ZFC için yansıma ilkesi, öncülün bir ZFC-teoremi olduğunu söylüyor. Modus ponens sayesinde ZFC,$\phi$.
Böylece yeni aksiyomlarla çalışabilir ve $V_{\alpha}$ bir evren gibi davranır ve kanıtlanmış her şeyden bahsetmez $\alpha$ ZFC'de zaten kanıtlanabilir.
Yorumlarda ortaya çıkan bir soru , soruyu sorma motivasyonuyla ilgiliydi . Bu konuyu burada ele almaya çalışayım.
Her şeyden önce, öğrenmekle ilgili! Orijinal soruda bahsettiğim gibi, kendimi bazı "aptalca" kardinal sınırlarla oynadım ve ancak daha sonra yansıtma ilkesini öğrendim, bu yüzden ne yapabileceğini (ve ne yapamayacağını) ve bu tür tahminlerin diğer karmaşık versiyonlarını bir şekilde otomatik olarak bu makineye aktarabilir. Bu yüzden karanlık bir odada tökezlediğin ve odanın aydınlatılmasını çok istediğin olağan bir şeydir! Aydınlatıcı cevaplar için hepinize teşekkürler!
Diğer bir neden de, yakın zamanda Grothendieck evrenlerinin eldeki soruna çözümüyle biraz hayal kırıklığına uğramış olmamdır. Açıklamama izin ver.
Tüm kümelerin kategorisi veya tüm gruplar vb. Hakkında konuşmak istiyorum ve bununla ilgili teoremleri kanıtlamak istiyorum. Ve en azından ZFC teorisinin sınıflara izin veren von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) versiyonunda, bu tamamen geçerli bir kavramdır. Bu nedenle, bu ortamda çalışmayı ontolojik olarak çok hoş buluyorum ve ek işlev teoreminin bu anlamda (gösterilebilir) kategoriler hakkında bir teorem olmasını çok isterim.
Artık gösterilebilir kategoriler az miktarda veriyle belirlendiğinden, her zaman bu küçük miktardaki verilerle çalışabilir ve göreceli boyutları dikkatlice takip edebilirsiniz. Aslında, HTT'deki birçok kanıt, bu tür göreceli boyutları açıkça takip eder, ancak yine de ilk önce "daha geniş bir bakış" almanın ve bu büyük kategorilere sanki küçüklermiş gibi bakmanın güzel olduğu birkaç nokta vardır.
Aslında, yardımcı işlev teoremi, büyük kategoriler arasındaki işlevciler hakkındadır ve bunun hakkında NBG / ZFC içinden konuşmak hızla çirkinleşir. Ek işlev teoreminin ifadesinin mükemmel bir anlam ifade ettiğine dikkat edin - sadece birleşimin tüm verilerinin tanımlanabilir olduğunu sorar. Ama bu şeylerden "içeriden" bahsetmeye çalışmak biraz iğrenç. Bu yüzden, bu büyük kategoriler hakkında tartışmak için kullanılan bir tür meta-teoriye sahip olmak ve bunlar küçükmüş gibi yapmak kesinlikle güzel olurdu. İnce "içeriden tanımlanabilirlik" sorusu bu meta-teoride a priori kaybolmuş olabilir, ancak bu "içeriden tanımlanabilirlik" sorusunu merkezi olarak görüyorum, çünkü ne de olsa istediğim tüm kümelerle ilgili bir teoremdi , bu yüzden ben ' Biraz dikkat etmek zorunda kalmaktan memnunum - ve esas noktayı kaldırırsak, Grothendieck evrenleriyle çalışmak ile Feferman'ın "evrenleri" ile çalışmak arasındaki farkın tam olarak bu olduğu ortaya çıktı.
İşte Grothendieck evrenlerinin amacı şudur: Şu anda içinde çalıştığınız herhangi bir evren için size her zaman daha büyük bir evren verirler. Grothendieck evrenlerinin varlığını tamamen sezgisel buluyorum ve aslında onların varlığını varsaymak, bir varsayımla tamamen eşit görünüyor. ilk etapta sonsuz küme: Sadece zaten sahip olduğunuz her şeyi kendi başına daha büyük bir varlıkta toplamaya izin veriyorsunuz.
Ama şimdi birdenbire, tüm setler küçük setler olarak adlandırılırken ve daha büyük setler de olduğu için düşünmeye başladım . Dolayısıyla, bu ortamda birleşik bir işlev teoremini ispatlasam bile, bu artık tüm kümeler / gruplar / ... kategorileri arasındaki işlevler hakkında bir teorem değil , küçük kümeler / gruplar / ... arasındaki işlevlerden yalnızca biri. bir düşünün, ZFC + Grothendieck evrenlerinde bile, tüm kümelerin kategorisi hakkında gerçekten istediğiniz teoremi asla kanıtlayamayacaksınız . (Aslında, çok yakın zamana kadar, adjoint functor teoreminin (for$\infty$-categories) "ZFC + Universes" altında kanıtlanmış bir ZFC ifadesidir, ancak bu tam olarak doğru değildir: İspatlanan ifade sadece ZFC + Evrenlerinde bile formüle edilebilir.)
Kanıtlanmış olan, ek işlev teoreminin geçerli olduğunun tutarlı olduğudur. Yani, ZFC + Evrenlerinin tutarlılığını varsayarak, şimdi teoremin doğru olduğu bir ZFC modeli - ZFC + Evrenler modelinizdeki küçük kümeler için - ürettiniz. Böylece artık "ZFC + eş işlev teoremi" teorisinde çalışabilirsiniz, burada eş işlev teoremi tüm kümeler / gruplar / ... kategorisine uygulanabilir , ancak bu kesinlikle bana bir hile gibi geliyor. "ZFC + Universes + eş işlev teoremi" nin tutarlı olduğunu bile kanıtlamadınız! (ZFC + Evrenlerinden biraz daha fazla tutarlılıkla başlarsanız,$\kappa$ öyle ki $V_\kappa$ZFC + Evrenlerini karşılar. Yine, bu bana tamamen adil bir varsayım gibi görünüyor - sadece devam edin.) Ama şimdi, küçük kümeler için de kanıtlanmış daha fazla teoremi dolaylı olarak çağırmaya başladığınızda, istemeden tutarlılık merdivenini tırmanma tehlikesini görebilirsiniz. için tüm setleri.
ZFC + Grothendieck evrenlerinde, küçük kümeler hakkında kanıtladığınız her şeyin aynı zamanda tüm kümelerin tüm ortam kategorisi hakkında bir teorem olduğunu bilseniz çok daha güzel olurdu. Bu otomatik değildir, ancak bunu bir aksiyom şeması olarak ekleyebilirsiniz. Kategori teorisi için Küme teorisinin 12. Bölümündeki Mike Shulman (arXiv: 0810.1279) bu fikri tartışıyor (ZMC'yi ifade ettiği): Bunu ontolojik olarak oldukça hoş buluyorum, aynı zamanda çok basit bir aksiyomatizasyona sahip gibi görünüyor (ZFC'den bile daha basit!), fakat
a) bu ek aksiyom şeması benim için tamamen açık değildir: Neden küçük kümelerde doğru olan her şey tüm kümeler için de geçerli olsun? Özellikle (biz ilk etapta istenilen sonucu kanıtlayan bazı problemler vardı Ayrıca, kesinlikle olmadığını not. Değil basılı tutun herhangi küçük kümeler kavramı: Rather'ın düsturunu şema garantiler olduğunu bazı küçük kümeler kavramı hangi bu tür için Şimdi bu bana biraz şüpheli geliyor, çünkü ilk etapta asla küçük setler istemedim, bu yüzden şimdi onları varsayıyorum ve tüm setlerin tüm davranışını hala yansıtmalarını istiyorum. Muhtemelen iyi, ama değil benim için apaçık ortada.)
b) bu aksiyom şemasının tutarlılık gücü oldukça yüksektir: Mahlo kardinalinin tutarlılığı ile aynıdır. Büyük kardinaller gittikçe bu hala düşük seviyededir, ancak sadece Grothendieck evrenlerinden (hiyerarşinin en altında gerçekten düşük olan) çok daha yüksektir.
A) ile ilgili olarak, Grothendieck evrenlerinin tutarlılığından ek işlev teoreminin tutarlılığını ispatlayabildiğimiz gerçeği, doğru yönü işaret eder, ancak bu, ikisinin birlikte tutarlı olduğunu kendi başına garanti etmez. Aksiyom şemasının makul olduğuna kendimi ikna edebileceğimi hayal edebiliyorum, ama kesinlikle onun sadece Grothendieck evrenlerinden çok daha fazla gerekçelendirmeye ihtiyacı olduğunu düşünüyorum. (Yan soru: "Zaten sahip olduğumuz her şeyi bir araya toplamamıza izin verme" fikrini kullanarak büyük kardinaller ne kadar büyüktür? Bunun tamamen iyi tanımlanmış bir soru olup olmadığından emin değilim ... Ölçülebilir kardinal kesinlikle bu türden değil (ama düzeltilmiş olmaktan mutluyum), çünkü yeni kombinatoryal özelliklerin ortaya çıktığını varsayıyor gibi görünüyor.)
Yakın zamanda Grothendieck evrenlerinden biraz mutsuz olmamın bir başka nedeni de, bir anlamda onları set-teorik incelikleri görmezden gelmek için kullanmak isterken, bazı yönlerden sizi ısırmak için geri döndükleri, şimdi de belirtmeniz gerektiği gibi. hangi evrende bazı şeyler yaşar. Bazen, farklı türdeki nesneler için birkaç farklı evren belirtmeniz bile gerekebilir (profinite kümelerdeki kasnaklar düşünün) ve bunun hızla çirkinleştiğini görüyorum. Tüm nesnelerin tek bir evrende birlikte yaşamasını tercih ederim.
Böylece, profinite kümelerdeki kasnaklar hakkında düşünürken, yalnızca tek bir evreni olan çözümü çok daha estetik ve ontolojik olarak hoş bulmaya geldim ve bu çözüm (yoğunlaştırılmış kümeler) ZFC'de sorunsuz bir şekilde resmileştirilebilir.
Tamam, bu yüzden Grothendieck evrenlerinin çözmek için yola çıktıkları sorunu gerçekten çözmediğini iddia ediyorum.
a) hala tüm kümelerin / grupların kategorisi hakkında teoremleri kanıtlamanıza izin vermiyorlar (tutarlılık sonucu veya daha güçlü büyük ana aksiyomlar hariç)
b) onlarla çalışırken, boyut sorunları hakkında endişelenmeniz gerekir - tüm kümeler kategoriniz artık her türden farklı boyuttaki kümeler halinde (yani farklı evrenlerde) katmanlara ayrılmıştır.
Dahası, tutarlılık gücünü de arttırırlar.
Şimdi, buradaki bu harika tartışmadan sonra, Feferman'ın önerisinin aslında çok daha iyi olduğunu düşünüyorum. Bununla birlikte, Mike Shulman'ın da belirttiği gibi, Feferman'ın aksiyomlarını ontolojik olarak doğru bir dünyayı tanımlayan bir şey olarak görmüyorum, ancak Feferman'ın teorisinin "evrenlerini", büyük kategoriler hakkında sanki küçüklermiş gibi konuşmak için yalnızca kolaylıklar olarak görüyorum. Başka bir deyişle, Feferman'ın teorisi tam olarak size bu kadar büyük kategorileri "dışarıdan" tartışabileceğiniz bir meta-teori sunar. Ancak bu, yalnızca ZFC teoreminin bir kanıtını vermek için kullanacağım bir teori. Grothendieck evrenleriyle karşılaştırıldığında, Feferman'ın teorisi
a) , tüm kümeler / gruplar / ... kategorisi hakkındaki teoremleri kanıtlamanıza izin verir , çünkü açık bir şekilde küçük kümeler hakkındaki tüm teoremlerin aynı zamanda tüm kümeler hakkında teoremler olduğu bir aksiyom şeması içerir.
b) Elbette, bazı önemsiz boyut sorunlarını ortaya çıkaran bir ZFC teoreminin kanıtı içinde, teorinin çeşitli boyutlar hakkında konuşmanıza olanak sağlaması çok hoş. Dahası, bunu, ZFC'nin tüm aksiyomlarını "evrenler" in her birine uygulayabileceğiniz bir şekilde yapar ve ayrıca her şeyi (potansiyel olarak son derece ince) kardinal sınırlar açısından nasıl yeniden yazacağınıza "perde arkasında" dikkat eder. ZFC'nin kendisinde. Bu nedenle, ZFC'de zor kardinal tahminler içeren argümanlar için üst düzey bir programlama dili gibidir.
Ek olarak, tutarlılık gücünü artırmaz ve aslında bu dilde kanıtlanmış herhangi bir ZFC ifadesi ZFC'nin teoremleridir. (Yukarıda hatırladığım gibi, Grothendieck evrenlerinde a) + b) 'ye de sahip olabilirdik, ancak daha sonra bir Mahlo kardinalinin tutarlılığına kadar koşabilirdik.)
Sonuç olarak, Feferman'ın evrenlerinin Grothendieck evrenlerinden "büyük kategoriler hakkında sanki küçüklermiş gibi konuşacak" bir meta-teori sağlama sorununu çözmede çok daha iyi bir iş çıkardığını düşünüyorum.
Soruyu sormak için bazı son nedenler ekleyeyim. HTT'de ortaya konulanlar gibi daha yüksek kategorik tekniklerin, sadece ortaya çıktıkları cebirsel topolojide değil, tüm matematikte çok merkezi bir öneme sahip olduğunu düşünüyorum. Sayı teorisi ve cebirsel geometri açısından bunu kesinlikle doğrulayabilirim. Dolayısıyla merkeziyetleri, tutarlılık güçlerini analiz etmek için de önemli bir nedendir.
HTT okumak çok önemsiz bir konudur - uzun ve karmaşıktır. Bununla birlikte, bazı sayı teorisi meslektaşları, HTT'yi okuyamamalarının temel nedenlerinden birinin, evrenleri kullanması olduğunu söylediler . Yani, ZFC'ye (ve aşırı dikkatle kontrol etmeye!) O kadar alışkınlar ki, bir tartışmada evrenlerin herhangi bir şekilde kullanımını otomatik olarak ortadan kaldırmaya çalışacaklar. Şimdi SGA'da, en azından makul şemaların kohomolojisini ölçmek için sadece uygulamalarla ilgileniyorsanız, bu elle yapabileceğiniz bir şeydi - örneğin, işleri küçük yapmak için bazı sayılabilirlik varsayımları ekleyin. Bununla birlikte, HTT'de, siz okurken birisinin temel sınırlar koyabileceği bir yol görmüyorum - argümanlar bunun için çok karmaşık.
Bu yüzden şimdi onlar da ben onlara umut olabilir ZFC içindeki her şeyin eserlerini kontrol ve hala HTT okuyabilir (esasen) yazıldığı gibi, onlar Feferman seti teoride okursanız. Dikkatlice kontrol ederlerse (ki yapacaklar), yine de burada küçük bir lemma ve orada bazı küçük ekstra argümanlar doldurmaları gerekebilir - ama yine de bunu, ~ 1000 sayfalık herhangi bir kitapta yapmak zorunda kalacaklardı ve tahmin edebilirim. bu yan görüşlerin yarısından daha azının Grothendieck evrenlerinin Feferman'ın "evrenleri" ile değiştirilmesiyle ilgili olduğu. Herhangi biri gerçekten bu projeyi üstlenirse, bu önemli işte başarılı olursa elbette tam bir övgüyü hak ediyor!
Feferman'ın teorisine yapılan çeviride önemli bir dikkat çekici nokta gibi görünen çok kısa bir notla bitireyim. Tim Campion'un cevabında öne sürdüğü noktayı takdir etmeye başladım ve şimdi bunun Jacob Lurie'nin ikinci cevabında da bahsedildiğini görüyorum. Kabaca şu şekildedir. Eğer$C$ prezentabl bir kategoridir, o zaman küçük bir kategori vardır $C_0$ öyle ki $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
bazı sıradan kardinaller için $\kappa$özgürce bitişik, hepsi küçük $\kappa$-filtre edilmiş eş sınırlar. Bu yapar$C$ doğal olarak bir birlik $C_\tau$'s, nerede $C_\tau$ sadece toplar $\tau$-küçük $\kappa$-filtre edilmiş eş sınırlar. Buraya$\tau$ normal bir kardinaldir öyle ki $\tau\gg \kappa$. Bu artan yapı$C$ birliği olarak $C_\tau$'s, gösterilebilir kategoriler teorisinin merkezinde yer alır, ancak seviyeler gerçekten (belirli) düzenli kardinaller tarafından numaralandırılır. $\tau$. Evreninizi artırırsanız, daha büyük bir versiyon da elde edersiniz.$C'$ nın-nin $C$ kendisi ve Grothendieck evrenlerinde $C$ şimdi güzel katmanlardan biri $C'_\tau$ nın-nin $C$, nerede $\tau$önceki evrenin en önemli noktasıdır. Ama Feferman'ın evrenlerinde bu$\tau$normal değil. Bu, bazı argümanları daha incelikli hale getirebilir, ancak birinin bu sorunu genellikle basitçe yerleştirerek çözebileceğini umuyorum.$C$ bazılarına $C'_\tau$ ile $\tau$ daha küçük evrenin kesme kardinalinden daha büyük bazı normal kardinaller.
Düzenlemeye yanıt olarak, işleri kardinalleri içeren resmi bir sisteme indirgeyen $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$:
Belki daha kötü tavsiye edilen bir uzvun üzerine çıkacağım ve Bölüm 1-4'ü bu biçimsel sisteme sığdırmak için gerçek kardinal aritmetiğin gerekli olmayacağını tahmin edeceğim. Aksine, kitabın bu bölümü için yapmanız gereken tek şey, formun çeşitli teorem ifadelerine hipotezler eklemek ve bunlara eklemek. "$X$ dır-dir $\kappa_{-1}$-küçük ". Sonuçta, kitabın bu bölümü gerçekten sadece küçük nesnelerle ilgileniyor , küçük basit kümeler kategorisi gibi birkaç özel büyük nesne, küçük basit kategoriler vb. Çeşitli model yapıları oluşturulmuştur, ancak her durumda, sonlu prezentabl nesneler arasında kofibrasyonlar / döngüsel olmayan kofibrasyonlar oluşturmak için küçük nesne argümanının özel durumunun kullanılmasıyla başarılabileceğine inanıyorum, böylece sonsuz tümevarım gerekmez. Görünüşe bakılırsa, düzleştirme / düzleştirme, küme kuramını ciddi şekillerde kullanıyor olabilecek yapılar görünümündedir.Ama devam edeceğim ve önerilen biçimsel sisteme hiçbir sorun çıkarmayacaklarını tahmin edeceğim.
Bölüm 5 daha sinir bozucu hale geliyor. Sunulabilirliğin temel teoremleri hakkında bazı dikkatli seçimler yapılması gerektiğine inanıyorum ($\infty$) -kategoriler. Sunulabilir kategorileri etkin kılan şey, ek işlev teoremini çok temiz bir şekilde paketlemeleridir, ancak sizin de söylediğiniz gibi, sıradan eş işlev teoremi bu ortamda uyarılarla birlikte gelir. İlk etapta prezentabl kategoriler hakkında düşünmenin tüm noktasının bu ortamda tamamen ortadan kalktığını söyleyecek kadar ileri gidebilirim. "Sunulabilir kategoriler, tam olarak ön kafalı kategorilerin erişilebilir yerelleştirmeleridir" gibi temel şeyleri kanıtlayamayacaksınız. Bu ortamda sunulabilir kategorilerin çekirdek teoremlerinin zayıf versiyonlarını formüle etmek için hangi seçimler yapılırsa yapılsın, zarar gören bazı uygulamalar veya potansiyel uygulamalar olacağını tahmin ediyorum.
Bölüm 5 ve 6 ayrıca çok büyük belirli kategoriler hakkında bazı teoremler içerir. $\infty$prezentabl kategorisi $\infty$-kategoriler ve $\infty$-kategori $\infty$-topoi [1]. Sistem bu gerçekten bir sorun olmayacak böyle görünüyor se başına , temel presentability teoride karşılaşılan sorunları artık bileşik olacağını hariç. Bunu kanıtlayamayacaksın$Pr^L$ çifttir $Pr^R$. Giraud'un teoremini kanıtlayamayacaksınız (tanımlar yine de akış halinde olacak, bu yüzden açıklığa kavuşturmalıyım: Ön kafalı kategorilerin sol tam erişilebilir yerelleştirmelerinin yerel olarak küçük olanlarla aynı olduğunu kanıtlayamayacaksınız. tamlık, üretim ve kesinlik koşullarının bir listesini karşılayan kategoriler). Yani herhangi bir teorem$\infty$ispatı ön işbaşından başlayıp ardından yerelleştirilerek ilerleyen topoların tamamen yeniden düşünülmesi gerekecektir.
Belki burada yersizim, ancak 5 ve 6. Bölümler için önemli miktarda fazladan çalışma ve gerçekten yeni matematiksel fikirlerin gerekli olacağına ve sonucun kullanımı çok daha zor bir teori olacağına inanıyorum.
Aksine, küçük parametrelerden tanımlanabilen büyük kategorilere dikkati sınırlandırmaya istekliyseniz, o zaman "bunu küçük kategoriler için kanıtladık ama şimdi bunu büyük kategorilere uygulayabiliriz" deme yeteneğini kaçırıyor olacağınızı düşünüyorum. one ", ZFC'den ayrılmadan çok daha kullanışlı bir sunabilirlik teorisine sahip olacaksınız.
[1] Aslında, olağan temellerde bu kategoriler (denkliğe kadar) yalnızca büyüktür ve çok büyük değildir (daha doğrusu, $\kappa_0$-birçok nesne ve $\kappa_0$boyutlu homlar), ancak bunu göstermek için biraz çalışma gerekiyor. Bu resmi sistemde durum hala böyle olacak mı? Emin değilim.
DÜZENLEME: Peter SCHOLZE en cevaben Uzun açıklama cevap .
Az önce fark ettiğim bir şey , eğer$\kappa_0$ değil $\beth$-fixed-point, sonra her set değil $V_{\kappa_0}$ kardinalitesi var $<\kappa_0$, böylece "küçüklük" kavramları çoğalır. Ne mutlu ki, resmi sisteminizin bunu kanıtladığını düşünüyorum.$V_{\kappa_0}$ vardır $\Sigma_1$-replacement, bunun bir $\beth$-sabit nokta. Kriz önlendi!
Belki de tanımlanabilirlik hipotezlerini bir "evren ortamı" içinde sistematik olarak kullanan bu yaklaşım, "her iki dünyanın en iyilerini" birleştirerek işe yarayacaktır. Güzel bir şey, açıkça metamatematik hipotezleri kullanıyor olsanız bile, bu teoremleri şema yerine tek teoremler olarak ifade edip ispatlayabileceğiniz görülüyor.
Önerme 5.2.6.3 (tartıştığınız sonuncusu ve ek işlev teoreminin bebek versiyonu) hakkında biraz kafam karıştı. Ön kafalı kategorisinin$P(C)$ bu işlevleri içerecek şekilde tanımlanacaktır $C^{op} \to Spaces$ hangi yalan $Def(V_{\kappa_0})$. Daha büyük bir evrene geçtiğimizde, geçiş genellikle oldukça sorunsuzdur, çünkü$P(C)$ tüm colimit'lerin indekslenmesine sahip olmak $\kappa_0$-küçük kategoriler - çalışmak için mükemmel bir doğal mülk $V_{\kappa_1}$. Aslında, Lurie'nin 5.2.6.3 ispatının ilk adımı, aşağıdaki gerçeği kullanarak bir sol ek noktanın var olduğunu göstermektir.$P(C)$tüm küçük eş sınırlara sahiptir [2]. Bununla birlikte, mevcut ortamda bunu asla varsayamayız.$\kappa_0$ düzenlidir ve bu nedenle bunu asla varsayamayız $P(C)$tüm küçük eş sınırlara sahiptir. Söyleyebileceğimiz en iyi şey şu$V_{\kappa_0}$ düşünüyor $P(C)$tüm küçük eş sınırlara sahiptir. Çalıştığımız sürece$V_{\kappa_0}$Bu özellik, aslında tüm küçük eş sınırlara sahip olduğu kadar "iyi" dir. Ama yükseldiğimizde$V_{\kappa_1}$, aniden ne olduğu için onu düşünmemiz gerekir - metamatematiksel bir özellik. Belki daha sonra oturup Lurie'nin 5.2.6.3 ispatının bu ortamda işe yarayıp yaramayacağını görmeye çalışacağım, ancak ilk bakışta belirsiz olduğunu düşünüyorum .
[2] Ancak bu şekilde varoluşu soyut olarak doğruladıktan sonra, sol eşlenikin gösterilen işlevci olması gerektiğini gösterir. Tabii ki, bu manevra aslında ek bir komplikasyondur.$\infty$-kategorik ayar - sıradan kategorilerde, iki işlev için formüllerin doğrudan eşdeğeri olduğu doğrulanabilir, ancak $\infty$-kategoriler Sol eşlenik için formül açık bir şekilde işlevsel değildir.