Yüzük hakkında 2 soru $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$

Aug 15 2020

Bu özel soruyu Halka Teorisinde çözemiyorum. Bu, hazırlandığım bir yüksek lisans sınavında soruldu.

İzin Vermek $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .

(a) Bunu kanıtlayın $A$ iki integral alanın doğrudan çarpımıdır.

(b) Yüzük $A$ izomorfik $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?

Bilebilirim $X^{3}-1$ şimdi unsurlar $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ ait $\mathbb{Q}$. Ama hangi integral domaini bu halkayı oluşturacağına dair hiçbir fikrim yok.

Ayrıca 2. için bir haritayı şu şekilde tanımlamada sorun yaşıyorum $X^3$2. halkada -1 olarak hareket edecektir. Haritayı sanmıyorum$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ bu harita olmadığı için çalışır $1-1$.

Öyleyse, lütfen biri bu iki soruna nasıl yaklaşmam gerektiğini söyleyebilir mi?

Yanıtlar

3 KentaS Aug 15 2020 at 19:02

İPUCU :

(a) Bir yüzük için Çin Kalan Teoremini kullanın.$A$ ve idealler $\mathfrak a,\mathfrak b$ nın-nin $A$ öyle ki $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Ayrıca bölüm halkası$\mathbb Q[X]/(f(X))$ ayrılmaz bir etki alanıdır $(f(X))$ ideal bir iff $f(X)$ indirgenemez (çünkü $\mathbb Q[X]$ bir PID'dir).

(b) iddia ediyorum $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$bir izomorfizmdir. Tüm aksiyomları kontrol edin.

E.R Aug 16 2020 at 21:56

(a) Kenta S'nin belirttiği gibi, $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ ve $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, sahibiz $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ ve bu yüzden $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$Çin Kalan Teoremi tarafından. Açıkça,$x^2-x+1$ ve $x-1$indirgenemez. Bu nedenle$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ ve $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ etki alanlarıdır.

(b) Açıkça, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Ayrıca,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ tarafından $x\to -x$. Bu nedenle$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.