फेगेनबाम कॉन्स्टेंट

मेरा पिछला लेख अराजकता सिद्धांत का एक बहुत ही संक्षिप्त परिचय था जहां मैंने मुख्य रूप से तितली प्रभाव के बारे में लिखा था , जो कि वह अवधारणा है जहां से अराजकता सिद्धांत शुरू हुआ था। मैंने पहले अपने एक लेख में जनसंख्या ग्राफ के बारे में चर्चा की थी । मैंने ग्राफ को "अंजीर का पेड़" नामक फ्रैक्टल के रूप में वर्णित किया। मैंने यह भी उल्लेख किया था कि भग्न अराजकता सिद्धांत का एक हिस्सा थे। तो, अराजकता आखिर इस ग्राफ को कैसे बनाती है?

वास्तव में एक प्रसिद्ध स्थिरांक है जिसका उल्लेख अन्य प्रसिद्ध गणितीय स्थिरांकों जैसे π, sqrt{2}, e, i, आदि के साथ किया गया है। मैंने, व्यक्तिगत रूप से, हाल तक इसके बारे में पहले कभी नहीं सुना था। इस स्थिरांक को " फेगेनबाम स्थिरांक " कहा जाता है, इसका मान δ = 4.6692016……. है, जिसका अर्थ है कि यह π या e की तरह अपरिमेय है। दो Feigenbaum स्थिरांक हैं। दूसरे को कहा जाता है जिसे α के रूप में दर्शाया गया है, लेकिन, यह एक और पूरी कहानी है जिसके बारे में मैं इस लेख में बात नहीं करूंगा।

1970 के दशक के आसपास, रॉबर्ट मे नाम के एक वैज्ञानिक ने एक पेपर लिखा था जिसमें उन्होंने एक समीकरण लिखा था जो जनसंख्या वृद्धि को मॉडल करता है। समीकरण इस प्रकार है:

इसमें x_(n+1) अगले वर्ष की जनसंख्या है, x_n वर्तमान जनसंख्या है और λ प्रजनन क्षमता है। यह समीकरण एक रसद मानचित्र है या जनसंख्या वृद्धि के लिए सिर्फ एक कार्य है। इसलिए, मूल रूप से, इस समीकरण का उपयोग करके, हम अनुमान लगा सकते हैं कि अगले वर्ष किसी समुदाय के लिए जनसंख्या कितनी होने वाली है। मैंने कहा कि λ जनसंख्या की उर्वरता की तरह है। इसलिए, यदि इसका मूल्य अधिक है, तो उच्च प्रजनन होता है, लेकिन, यदि यह कम होता है, तो निम्न प्रजनन होता है। λ का मान 0 और 1 के बीच है, जहाँ 0 का अर्थ प्रजनन नहीं है और 1 का अर्थ पूर्ण प्रजनन है।

अब, जनसंख्या वृद्धि में रुचि रखने वाले वैज्ञानिकों ने भविष्य में जनसंख्या की भिन्नता का निरीक्षण करने के लिए इस ग्राफ को दोहराया। दिए गए समीकरण के दाहिने हाथ की ओर, x_n जीवन है, जबकि (1 - x_n) मृत्यु है।

ठीक। आइए अब x_1 के लिए कोई मान लें। इसे 0.5 होने दें, यानी आबादी आधी हो जाए। मैं λ का मान 2.3 ले रहा हूँ।

इसलिए, यदि हम समीकरण का उपयोग करके निम्नलिखित वर्षों की जनसंख्या की गणना करते हैं, अर्थात x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, होगा

0.575, 0.5621, 0.5661, 0.5649, 0.5653, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652, क्रमशः।

आप देख सकते हैं कि मान स्थिर हो गया है। दूसरे शब्दों में जनसंख्या वृद्धि स्थिर हो गई है। इसे पुनरावृत्ति में निश्चित बिंदु कहा जाता है ।

यदि हम λ बदलते हैं तो क्या होता है। आइए एक λ चुनें जो बहुत छोटा है, कहीं 0 और 1 के बीच। मान लीजिए 0.65। सहज रूप से, यह स्पष्ट है कि यदि प्रजनन क्षमता बहुत कम है तो क्या होगा। लेकिन, चलिए अभी भी x_1 को 0.5 के रूप में बनाए रखने की गणना करते हैं। जैसा कि मैंने x_2, x_3, x_4… .. की गणना की, निम्नलिखित मान हैं जिनकी मैंने गणना की।

0.1625, 0.0885, 0.0524, 0.0323, 0.0203, 0.0129, 0.0083, 0.0053, 0.0035, 0.0022, 0.0015, 0.0009, 0.0006, 0.0004, 0.0003, 0.0 0.0004

आबादी मर चुकी है।

क्या होगा यदि मैं एक उच्च उर्वरता मान, मान लीजिए 3.2 ले लूँ?

मैंने इसे फिर से x_1 के साथ 0.5 के रूप में गणना की, कई पुनरावृत्तियों के बाद, मैंने देखा कि मान इस प्रकार चल रहे थे,

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,….. जनसंख्या स्थिर है, लेकिन 2 मूल्यों पर स्थिर है।

अब मैं λ का सावधानीपूर्वक चयनित मान लूंगा, जो कि 3.5 है।

x_1 के रूप में 0.5 के साथ, फिर से गणनाओं के माध्यम से जा रहे हैं, मैंने देखा कि कई पुनरावृत्तियों के बाद मान, के रूप में चल रहे थे,

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.0,8285…।

इस बार, मान 4 मानों पर स्थिर है।

आइए अब हमने देखे गए सभी मामलों का ग्राफ़ बनाएं।

a) जब जनसंख्या स्थिर हो गई

b) जब जनसंख्या मर गई

c) जब जनसंख्या दो मानों के बीच उछलती है

d) जब जनसंख्या चार मानों के बीच उछलती है

अब, हमारे पास जो परिणाम हैं, हम x-अक्ष पर λ और y-अक्ष पर जनसंख्या के साथ एक ग्राफ तैयार करेंगे। आपको जो मिलेगा वह निम्नलिखित है:

जब λ = 3.2 हमें दो मान मिले थे जो पुनरावृति कर रहे थे। इस प्रकार, आप देखेंगे कि ग्राफ वहाँ द्विभाजित होता है। 'द्विभाजित' यह कहने का एक परिष्कृत तरीका है कि ग्राफ अलग हो जाता है। इसी तरह, लगभग 3.5 पर, यह फिर से चार में विभाजित हो जाता है। यह चलता रहता है, लेकिन बहुत तेज गति से। λ के बहुत छोटे परिवर्तनों पर, अब ग्राफ और भी तेजी से द्विभाजित होगा। थोड़ी देर के बाद, जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं, ग्राफ कुछ असाधारण दिखाता है। लेकिन, इससे पहले, मैं परिभाषित करता हूं कि मैंने इस लेख को Feigenbaum स्थिरांक के साथ क्या शुरू किया था।

जैसा कि उपरोक्त आरेख में दिखाया गया है, यदि मैं ग्राफ के प्रत्येक द्विभाजन की लगातार दो लंबाई लेता हूं और इसका अनुपात पाता हूं, तो आपको एक निरंतर अपरिमेय मान, 4.6692016…… प्राप्त होगा।

यह Feigenbaum स्थिरांक है। यह कह रहा है कि द्विभाजन की लंबाई 4.6692016 है ……। पिछले वाले से गुना छोटा। Feigenbaum ने पाया कि यदि आप जनसंख्या समीकरण की तरह कोई भी द्विघात समीकरण लेते हैं, तो आप केवल मापदंडों के साथ फ़िडलिंग करके एक अवधि दोहरीकरण ग्राफ बना सकते हैं। और, लगातार दो द्विभाजनों की लंबाई का अनुपात लेने पर, आपको किसी भी द्विघात समीकरण के लिए समान संख्या प्राप्त होगी।

लगभग λ = 3.59 के बाद ग्राफ का भाग्य इस प्रकार है।

ग्राफ पागल हो जाता है, या बल्कि अराजक हो जाता है। हालांकि इस ग्राफ की खोज अराजकता सिद्धांत के ज्ञात होने से पहले ही हो गई थी। इस प्रकार इस स्थिरांक और ग्राफ का इसके अध्ययन के दौरान बहुत उपयोग किया गया है। अराजकता प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील है जो बड़े पैमाने पर परिवर्तन पैदा करती है, जैसा कि तितली प्रभाव द्वारा समझाया गया है। इसी तरह, यहाँ, λ में एक बहुत छोटा परिवर्तन ग्राफ में पागल परिवर्तन का कारण बन सकता है। बटरफ्लाई इफेक्ट के साथ-साथ यह कैओस थ्योरी की शुरुआत थी।