Tujuan artikel ini: Mendefinisikan dan menghitung nilai ini secara numerik. Konstanta akan muncul dalam Matematika.

Asumsi pengetahuan: Integrasi (Kalkulus), Konsep konvergensi

Definisi

Dikenal juga sebagai konstanta Euler (jangan bingung dengan e = 2.718281828459045…), Konstanta Euler-Mascheroni yang dilambangkan dengan huruf kecil gamma (γ) didefinisikan sebagai,

"Batas sebagai n → ∞ dari perbedaan antara deret harmonik dan log natural dari n ."

Atau,

Konstanta ini dengan nilai sekitar γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… memang ada. Tetapi masih belum diketahui apakah konstanta itu transendental atau aljabar. Bahkan tidak diketahui apakah γ rasional atau irasional.

Jika konstanta ini rasional, penyebutnya harus lebih besar dari 10²⁴²⁰⁸⁰.

Perhitungan nilai γ

Mari kita gantikan berbagai nilai n dalam persamaan γ yang ditentukan di atas,

Kita dapat melihat di sini bahwa ketika n meningkat dan menjadi lebih besar dan lebih besar, atau, karena cenderung tak terhingga, nilainya semakin mendekati nilai konstanta ini yang ditentukan sebelumnya. Angka ini adalah Konstanta Euler-Mascheroni .

Representasi grafis dari γ

Area jingga di bawah kurva y = 1/ x adalah fungsi log natural. Ini karena integrasi dari, atau luas di bawah grafik y = 1/x adalah ln x .

Area hijau dari bar adalah representasi grafis dari deret harmonik.

Perbedaan antara dua area yang diarsir oleh titik biru (di bawah) mewakili konstanta Euler - Mascheroni,

Bukti Konvergensi

Kita tahu bahwa karena n cenderung tak terhingga, fungsi yang mendefinisikan konstanta Euler - Mascheroni konvergen ke nilai konstanta tertentu. Tapi bagaimana kita membuktikan konvergensi ini tanpa kekerasan?

Jadi, kita tahu bahwa,

Di mana,

Mari kita ambil,

yang memberikan konstanta ketika n cenderung tak terhingga.

Untuk membuktikan konvergensi, kami akan

1. Buktikan bahwa barisan tersebut menurun dan kemudian,
2. Buktikan bahwa itu dibatasi .

Sekarang, ekspresikan ln⁡(1 +x ) menggunakan deret Taylor ,

Mengambil x = -1/ n ,

Menggunakan (3) dalam (2),

Jadi,

Oleh karena itu, urutannya menurun drastis secara monoton .

II. URUTAN TERBATAS

a) Batas Atas Urutan

Seperti yang kita ketahui sekarang bahwa deret tersebut benar-benar menurun, suku pertama dari deret tersebut adalah suku terbesar.

Jadi, istilah pertama adalah,

Oleh karena itu, batas atas adalah 1 .

a) Batas Bawah Urutan

Kami tahu itu,

Ini dapat ditulis sebagai,

Sekarang,

Kita dapat mendefinisikan e^x sebagai

Jika kita menghilangkan kasus di mana x = 0,

Jadi,

Mengambil log alami di kedua sisi,

Dari (5),

Mengambil penjumlahan di kedua sisi,

Dari (4),

Menambahkan H_n di kedua sisi persamaan,

Atau,

Jadi, batas bawahnya adalah 0.

Jadi, G_n adalah urutan yang menurun secara monoton dengan batas-batas,

Oleh karena itu, barisan tersebut konvergen ke limit γ , sehingga, 0 < γ < 1.

Limit barisan G_n sebagai n → ∞ adalah konstanta Euler — Mascheroni .