Berapa matriks logaritma operator turunan ( $\ln D$)? Apa peran operator ini di berbagai bidang matematika?
Babusci dan Dattoli, Pada logaritma dari operator turunan , arXiv: 1105.5978 , memberikan beberapa hasil yang bagus:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Saya bertanya-tanya, apa matriksnya, atau sebaliknya, apakah ada metode untuk menerapkannya ke suatu fungsi?
Apa peran intuitifnya dalam berbagai bidang matematika?
Jawaban
Setelah transformasi Fourier $x\mapsto k$, ini menjadi operator diagonal dengan elemen matriks $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Jadi untuk menemukan elemen matriks di$x$-representasi kita perlu membalik transformasi Fourier dari logaritma $\ln k$. Dari jawaban MSE ini untuk transformasi Fourier$\ln |k|$ (dengan tanda nilai absolut) saya akan menyimpulkan itu $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$
Artinya notasi ini $\ln D$ bertindak atas suatu fungsi $f(x)$ menghasilkan fungsi baru $g(x)$ diberikan oleh $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$
Interpretasi dari a $\ln(D)$ tergantung pada interpolasi yang dipilih oleh operator turunan biasa dan kekuatan bilangan bulat positifnya ke operator turunan integro pecahan (FID), yaitu interpretasi dari $D$dieksponensial oleh bilangan nyata (atau bilangan kompleks melalui kelanjutan analitik), yang pada gilirannya, bergantung pada fungsi yang akan ditindaklanjuti oleh FID. Perpanjangan yang dijelaskan di bawah ini menghasilkan B & Ds tiga identitas dan konsisten dengan properti yang dikenakan Pincherle pada setiap keluarga sah FID (lihat MO-Q ini pada turunan 1/2 dan MO-Q ini pada kalkulus pecahan ). Ini dapat didefinisikan oleh tindakan pada 'set basis' dari seluruh fungsi dalam variabel kompleks$\omega$ sebagai
$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$
dimana $H(x)$ adalah fungsi langkah Heaviside, dan $\alpha$ dan $\omega$ dapat berupa bilangan kompleks dengan identifikasi biasa dalam teori fungsi dan distribusi umum
$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$
dengan $n=0,1,2,3,...$.
Perhatikan bahwa ini tidak ada hubungannya dengan transformasi Fourier di atas garis nyata atau simbol / op / pseudo-diff yang terkait dengannya. Khususnya,$D^{\alpha}$ di sini TIDAK terkait dengan perkalian dengan $(i 2 \pi f)^{\alpha}$dalam ruang frekuensi. Di tempat lain saya menunjukkan berbagai repetisi konvolusional yang setara dari FID ini sebagai 1) FT di atas lingkaran melalui transformasi integral kontur kompleks Cauchy yang diatur, 2) kelanjutan analitik dari rep integral fungsi beta Euler baik melalui ledakan ke bidang kompleks dari integral sepanjang segmen garis nyata atau regularisasi melalui bagian hingga Hadamard atau melalui kontur Pochhammer, 3) interpolasi Mellin dari operator turunan standar melalui aksi fungsi pembangkit$e^{tD_x}$, aplikasi operator rumus induk Ramanujan, atau 4) fungsi sinc / interpolasi deret utama dari koefisien binomial umum.
Mari kita lihat seberapa layak definisi FID di atas; hubungannya dengan generator yang sangat kecil (infinigen) dari FID dan ketiga identitas B & D; hubungan ke formalisme urutan polinomial Appell Sheffer dan, oleh karena itu, teori polinomial / fungsi simetris; dan repetisi matriks dari infinigen dan FID.
Jika kita berasumsi bahwa generator sangat kecil $IG$ ada seperti itu
$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$
kemudian secara resmi
$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$
$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$
dan infinigennya
$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$
dimana $\psi(x)$ adalah fungsi digamma, yang dapat didefinisikan di atas bidang kompleks sebagai fungsi meromorfik dan terkait erat dengan nilai fungsi Riemann zeta di $s = 2,3,4,...$.
Beberapa repetisi (yang memberikan identitas yang sama seperti di B & D) adalah
$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$
$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$
$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$
$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$
dimana $\lambda$ terkait dengan konstanta Euler-Mascheroni melalui $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.
Repetisi lain dan cara lain untuk mencapai repetisi di atas diberikan dalam referensi di bawah ini.
Mari kita lihat cara melalui formalisme urutan polinomial Appell Sheffer, yang menyelesaikan setiap masalah konvergensi pada eksponensiasi rumus op diff eksplisit untuk infinigen dan memungkinkan koneksi ke teori polinomial simetris / fungsi.
Urutan Appell yang relevan dari polinomial $p_n(z) = (p.(z))^n$ memiliki fungsi pembangkit eksponensial, seluruhnya dalam variabel kompleks $t$, yaitu, dengan seri Taylor yang konvergen secara global,
$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$
dengan urutan polinomial timbal balik yang ditentukan dalam empat cara yang konsisten $\hat{p}(z)$
1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, seorang egf,
2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, dalam hal matriks koefisien segitiga bawah dari dua barisan dalam basis pangkat monomial $z^n$ dengan satuan diagonal,
3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, inversi konvolusional umbral,
4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, generator operasional.
Oleh karena itu, pengangkatan polinomial Appell $p_n(z)$ didefinisikan oleh
$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$
diberikan oleh
$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$
$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$
konjugasi operator, atau 'transformasi pengukur', dari operator peninggian $z$ untuk monomial daya.
Selain itu, dengan komutator operator $[A,B] = AB - BA$,
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$
Sekarang masukkan kembali Pincherle dan turunan operator eponim, yang disebut-sebut oleh Rota untuk kalkulus operator hingga. The Graves-Pincherle turunan atau diperoleh kekuatannya dari Graves-Lie-Heisenberg-Weyl komutator$[D_z,z] = 1$ dari mana, dengan pengurutan ulang normal, menyiratkan untuk fungsi apa pun yang dinyatakan sebagai deret pangkat dalam $D_z$
$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$
Ini adalah avatar dari turunan Pincherle (PD) yang mengikuti dari aksinya $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$
tetapi PD berlaku untuk operasi menurunkan dan menaikkan (ladder) yang lebih umum yang memuaskan $[L,R]= 1$.
Kemudian
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$
$$ = z - \psi(1+D_z).$$
Dengan pergantian pemain $ z = \ln(x)$
$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$
Operasi pengangkatan didefinisikan sedemikian rupa
$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$
seluruh fungsi untuk $t$kompleks; karena itu,
$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$
begitu
$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$
$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$
dan kami memang bisa mengidentifikasinya
$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$
dan
$$IG = \ln(D_x).$$
Sekarang terapkan PD ke $\ln(D)$, sebagai pemeriksaan formalisme dan jalan untuk perwakilan matriks, memberi secara formal
$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$
Ini diberikan arti eksplisit dengan mengevaluasi komutator untuk fungsi umum $g(x)$ analitik di asalnya (yang menggeneralisasi himpunan 'basis' kami) menggunakan perwakilan integral untuk $R_x = -\ln(D_x)$, memberi
$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$
$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$
$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$
Jadi kita punya
$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$
dan
$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$
menyiratkan
$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$
Selain itu, dengan
$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$
kemudian
$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$
$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$
dimana
$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$
Seri op beda hingga tertanam dalam turunannya $D_{\alpha =0}$dari interpolator Newton
$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$
$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$
Untuk $\alpha = -m$ dengan $m = 1,2,...$ dan $\omega = 0$, interpolator Newton ini memberikan
$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$
$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$
$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$
yang setuju dalam arti distribusi dengan resolusi polinomial Laguerre $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$dalam rumus MO-Q ini karena, dengan$c_n = f_n$ dalam notasi di sana,
$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$
dengan
$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$
jadi, untuk $m$turunan -th dari fungsi Heaviside,
$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$
dan, oleh karena itu, koefisien resolusi seri Laguerre dari file $m$Turunan -th dari fungsi Heaviside adalah
$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$
sesuai dengan interpolator Newton.
Menerapkan $D_x^{-1}$ berulang-ulang ke kedua sisi identitas ini menetapkan interpolasi konvergen untuk $\omega = 1,2,3,...$, dan bertindak atas dasar kekuatan dalam ekspansi binomial $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ harus memberikan ekspresi konvergen juga.
Demikian pula untuk $\omega=0$, kami memiliki transformasi Laplace (atau lebih tepatnya, transformasi Mellin yang dimodifikasi menjadi pusat rumus induk Ramanujan yang dengannya FID dapat dilemparkan sebagai interpolasi Mellin dari turunan standar),
$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$
untuk $Re(\alpha) > -1$, memberi
$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$
Transformasi Laplace ini dan, oleh karena itu, interpolator Newton dapat dilanjutkan secara analitis dalam beberapa cara standar (misalnya, peledakan dari garis nyata ke bidang kompleks melalui kontur Hankel , bagian hingga Hadamard ) ke bidang kompleks penuh untuk$\alpha$. Untuk eksponen bilangan bulat negatif, kontur Hankel berkontur dengan perwakilan kontur Cauchy biasa untuk diferensiasi. Pendekatan bagian-hingga-Hadamard memungkinkan interpolator Newton dimodifikasi dengan tepat strip demi strip untuk memberikan hasil yang diinginkan.
Kembali ke rep untuk perbedaan hingga $\ln(D_x)$, aksi infinigen pada 1 lalu memberikan, untuk $x > 0$,
$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$
dimana $L_n(x)$ adalah polinomial Laguerre, sesuai dengan persamaan B & D pertama dalam pertanyaan.
Plot hasil evaluasi rangkaian operator dipotong di $n=80$, atau lebih, bertindak $x^2$ dan $x^3$ cocok dengan hasil analitik juga.
Rep matriks $M$ dari tindakan op integrasi ini $D_x^{-1}$ di $x^n$ cukup sederhana dalam basis pangkat - matriks dengan semua nol kecuali subdiagonal pertama, atau superdiagonal, tergantung pada perkalian matriks kiri atau kanan, dengan elemen $(1,1/2,1/3,...)$.
Rep matriks untuk $R_x$ kemudian
$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$
Eksponensial,
$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$
Rep matriks terkait adalah
$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$
(Saya belum memeriksa perhitungan matriks ini secara numerik seperti biasanya karena disk MathCad saya ada di penyimpanan di negara bagian lain.)
Untuk bertindak atas pangkat non-integer $x$, Anda harus merepresentasikannya sebagai superposisi basis pangkat integer seperti pada ekspansi binomial
$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$
Cara lainnya, kembali ke $z$ rep dan tuliskan representasi matriks dari operasi peningkatan $R_z$. Ini adalah transformasi sederhana dari matriks Pascal segitiga bawah tak terhingga yang ditambah dengan superdiagonal pertama dari semuanya. OEIS A039683 memiliki contoh matriks yang setara dengan operasi peninggian dalam basis kekuatan monomial, juga dikenal sebagai matriks produksi dalam pendekatan lain (Riordan?) Ke urutan polinomial. Lebih baik dalam hal ini untuk beralih ke basis kekuatan terbagi$z^n/n!$. Kemudian matriks Pascal yang diperbesar menjadi matriks penjumlahan sederhana dari semua matriks. Kalikan diagonal ke-n dengan$c_n$ dimana $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ untuk menghasilkan perwakilan matriks untuk operasi peningkatan, tetapi karena, misalnya, $x^2=e^{2z}$, ini dengan cepat menjadi algoritma yang berantakan untuk diterapkan dibandingkan dengan perwakilan perbedaan hingga.
Referensi lebih lanjut (tidak lengkap):
- Riemann zeta dan kalkulus pecahan, sebuah MO-Q
- Fungsi Digamma / Psi, Wiki
- OEIS A238363 di log dari operator turunan
- OEIS A036039 pada polinomial indeks siklus dan fungsi simetris
- Fungsi Zeta dan polinomial indeks siklus, sebuah MO-Q
- Pada operasi peningkatan FID, MSE-Q
- OEIS A132440 pada matriks infinigen
- OEIS A263634 tentang repetisi polinomial partisi untuk operasi peningkatan Appell
- Ref untuk interp lain dari log turunan, pdf
- Interpolasi / analitik lanjutan dari faktorial ke gamma fct, MSE-Q
- Meningkatkan operasi untuk urutan Appell, sebuah posting blog
- Contoh interpolasi Mellin dari $e^{tD}$, MO-Q
- Lebih lanjut tentang interpolasi / analitik kelanjutan operasi diferensial, entri blog
- Dua kelanjutan analitik dari koefisien fungsi pembangkit, MO-Q
- FID dan fungsi hipergeometrik konfluen, sebuah MO-Q
- Catatan tentang turunan Pincherle, sebuah posting blog
- FID dan interpolasi koefisien binomial, entri blog
- FID, interpolasi, dan gelombang perjalanan, entri blog