Prinsip refleksi vs alam semesta
Dalam diskusi teori-kategori, sering kali ada godaan untuk melihat kategori semua kelompok abelian, atau semua kategori, dll., Yang dengan cepat mengarah ke masalah teori-himpunan yang biasa. Ini sering dihindari dengan menggunakan alam semesta Grothendieck. Dalam bahasa set-teoretik, seseorang memperbaiki beberapa kardinal yang sangat tidak dapat diakses$\kappa$ - ini artinya $\kappa$ adalah beberapa kardinal yang tak terhitung sehingga untuk semua $\lambda<\kappa$, juga $2^\lambda<\kappa$, dan untuk semua kumpulan $<\kappa$ banyak set $S_i$ ukuran $<\kappa$, juga kesatuan mereka adalah ukuran $<\kappa$. Ini menyiratkan bahwa panggung$V_\kappa\subset V$ dari "set ukuran $<\kappa$"itu sendiri adalah model ZFC - dengan menerapkan operasi apa pun pada set, seperti mengambil set tenaga atau serikat, Anda tidak akan pernah bisa keluar $V_\kappa$. Kumpulan ini kemudian disebut "kecil", dan kemudian kategori grup abelian kecil didefinisikan dengan baik.
Secara historis, pendekatan ini pertama kali digunakan oleh Grothendieck; teks dasar yang lebih baru adalah karya Lurie$\infty$-kategori. Namun, penggunaannya selalu menimbulkan reaksi balik, dengan beberapa orang tidak mau membiarkan aksioma di luar ZFC masuk ke literatur yang sudah mapan. Misalnya, saya pikir di beberapa titik ada diskusi panjang apakah Teorema Terakhir Fermat telah dibuktikan di ZFC, sekarang diselesaikan oleh McLarty. Baru-baru ini, saya telah melihat argumen serupa muncul untuk teorema yang buktinya merujuk pada karya Lurie. (Secara pribadi, saya tidak memiliki perasaan yang kuat tentang ini dan memahami argumen dengan cara apa pun.)
Di sisi lain, pemeriksaan lebih dekat juga selalu mengungkapkan bahwa penggunaan alam semesta sebenarnya tidak diperlukan. Misalnya, Proyek Tumpukan tidak menggunakan alam semesta. Sebaliknya, (lihat Tag 000H katakanlah) secara efektif melemahkan hipotesis itu$\kappa$ sangat tidak dapat diakses, untuk sesuatu seperti kardinal batas yang kuat dari cofinalitas yang tak terhitung, yaitu: untuk semua $\lambda<\kappa$, satu punya $2^\lambda<\kappa$, dan kapan pun Anda memiliki koleksi set yang dapat dihitung$S_i$ ukuran $<\kappa$, juga persatuan $S_i$ memiliki ukuran $<\kappa$. ZFC dengan mudah membuktikan keberadaan seperti itu$\kappa$, dan hampir setiap argumen yang dibayangkan dalam kategori kelompok abelian sebenarnya juga berhasil dalam kategori $\kappa$-kelompok abelian kecil untuk itu $\kappa$. Jika seseorang melakukan argumen yang lebih rumit, maka ia dapat memperkuat hipotesis awal tentang$\kappa$. Saya memiliki kesempatan untuk memainkan game ini sendiri, lihat Bagian 4 dari www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf untuk mengetahui hasilnya. Dari pengalaman ini, saya cukup yakin bahwa seseorang dapat dengan cara yang sama menulis ulang "Teori Topos Tinggi" Lurie, atau karya teori kategori serupa lainnya, dengan cara menghapus semua kardinal yang sangat tidak dapat diakses, menggantinya dengan memilih secara hati-hati.$\kappa$ dengan properti seperti di atas.
Faktanya, tampaknya ada teorema ZFC, prinsip refleksi (dibahas secara singkat di Tag 000F proyek Stacks, misalnya), yang tampaknya menjamin bahwa ini selalu mungkin. Yakni, untuk setiap himpunan rumus berhingga dari teori himpunan, ada beberapa yang cukup besar$\kappa$ sedemikian rupa sehingga, secara kasar, rumus-rumus ini berlaku $V_\kappa$ jika dan hanya jika mereka bertahan $V$. Ini sepertinya mengatakan bahwa untuk kumpulan rumus hingga tertentu, seseorang dapat menemukan beberapa$\kappa$ seperti yang $V_\kappa$berperilaku seperti alam semesta sehubungan dengan rumus-rumus ini, tapi tolong perbaiki saya dalam pemahaman saya yang sangat naif tentang prinsip refleksi! (Fakta terkait adalah bahwa ZFC membuktikan konsistensi dari setiap fragmen terbatas dari aksioma ZFC.)
Di sisi lain, teks matematika yang diberikan hanya berisi banyak rumus hingga (kecuali jika dinyatakan sebagai "skema teorema", yang biasanya tidak terjadi, saya yakin). Pertanyaannya demikian, diutarakan dengan sedikit provokatif:
Apakah prinsip refleksi menyiratkan bahwa harus mungkin untuk menulis ulang Teori Topos Tinggi dengan cara yang menghindari penggunaan alam semesta?
Sunting (28.01.2021): Terima kasih banyak atas semua jawaban yang sangat membantu! Saya pikir saya memiliki gambaran yang lebih jelas tentang situasinya sekarang, tetapi saya masih belum yakin apa jawaban dari pertanyaan itu.
Dari apa yang saya pahami, (kira-kira) meta-teorema terbaik ke arah ini adalah sebagai berikut (khusus untuk HTT). Ingatlah bahwa HTT memperbaiki dua kardinal yang sangat tidak dapat diakses$\kappa_0$ dan $\kappa_1$, sehingga memberi ruang untuk kecil (dalam $V_{\kappa_0}$), besar (dalam $V_{\kappa_1}$), dan sangat besar (dalam $V$) objek. Seseorang kemudian dapat mencoba membaca HTT dalam sistem aksioma berikut (ini pada dasarnya adalah salah satu artikel Feferman "Dasar teori himpunan teori kategori", dan juga telah diajukan dalam jawaban Rodrigo Freire di bawah).
(i) Aksioma ZFC biasa
(ii) Dua simbol lainnya $\kappa_0$ dan $\kappa_1$, dengan aksioma bahwa mereka adalah kardinal, bahwa kofinalitas $\kappa_0$ tidak terhitung, dan cofinalitas $\kappa_1$ lebih besar dari $\kappa_0$.
(iii) Skema aksioma, mengatakan itu untuk setiap formula $\phi$ teori himpunan, $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ dan $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$.
Kemudian prinsip refleksi dapat digunakan untuk menunjukkan (lihat jawaban Rodrigo Freire di bawah untuk sketsa bukti):
Dalil. Sistem aksioma ini konservatif terhadap ZFC. Dengan kata lain, teorema apapun dalam sistem formal ini yang tidak mengacu$\kappa_0$ dan $\kappa_1$ juga merupakan teorema ZFC.
Inilah kesimpulan yang ingin saya peroleh.
Catat itu $V_{\kappa_0}$ dan $V_{\kappa_1}$ adalah model ZFC, tetapi (secara kritis!) ini tidak dapat dibuktikan di dalam sistem formal, karena ZFC tidak dapat dilakukan aksioma yang terbatas, dan hanya masing-masing aksioma ZFC yang dikemukakan oleh (iii).
Satu hal yang menyenangkan tentang sistem aksioma ini adalah bahwa ia secara eksplisit mengizinkan argumen sesekali dalam bentuk "kami membuktikan teorema ini untuk kategori kecil, tetapi kemudian kami juga dapat menerapkannya ke kategori besar".
Pertanyaan yang lebih tepat kemudian adalah:
Apakah argumen HTT berfungsi dalam sistem formal ini?
Mike Shulman di Bagian 11 dari https://arxiv.org/abs/0810.1279memberikan penjelasan yang sangat jelas tentang potensi masalah di sini. Yakni, jika Anda punya himpunan$I\in V_{\kappa_0}$ dan set $S_i\in V_{\kappa_0}$ untuk $i\in I$, Anda tidak diperbolehkan menyimpulkan bahwa penyatuan file $S_i$ masuk $V_{\kappa_0}$. Kesimpulan ini hanya dijamin jika fungsinya$i\mapsto S_i$ juga didefinisikan dalam $V_{\kappa_0}$ (atau jika $I$dapat dihitung, dengan asumsi tambahan dari cofinalitas yang tak terhitung). Dalam praktiknya, ini berarti bahwa ketika seseorang ingin menegaskan bahwa sesuatu itu "kecil" (yaitu dalam$V_{\kappa_0}$), penilaian ini tidak hanya berkaitan dengan objek, tetapi juga morfisme, dll. Tidak jelas bagi saya sekarang seberapa besar masalah ini sebenarnya, saya harus memikirkannya lebih dalam; Saya mungkin benar-benar membayangkan bahwa cukup mudah membaca HTT untuk memenuhi sistem formal ini. Shulman mengatakan bahwa, dengan peringatan ini, teorema adjoint functor dapat dibuktikan, dan seperti yang dikatakan Lurie dalam jawabannya, argumen di HTT memiliki kompleksitas teori-himpunan yang serupa. Namun, saya masih tertarik dengan penilaian apakah jawaban atas pertanyaan tersebut adalah "Ya, seperti yang tertulis" atau lebih tepatnya "Mungkin ya, tetapi Anda harus berusaha" atau sebenarnya "Tidak juga". (Saya sangat berharap para ahli akan dapat menyetujui secara kasar di mana jawabannya berada pada spektrum ini.)
Komentar terakhir: Orang mungkin menganggap asumsi "tidak dapat dipertanggungjawabkan" di atas agak sewenang-wenang; mengapa tidak mengizinkan beberapa serikat yang sedikit lebih besar? Salah satu cara untuk mengatasinya adalah dengan menambahkan simbol$\kappa_{-1}$ dengan properti yang sama, dan sebaliknya tanyakan bahwa cofinalitas $\kappa_0$ lebih besar dari $\kappa_{-1}$. Demikian pula, seseorang mungkin ingin mengganti penjilidan$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ dengan ikatan yang sedikit lebih kuat seperti $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$mengatakan. Sekali lagi, jika itu menyederhanakan banyak hal, seseorang dapat menekan yang lain$\kappa_{1/2}$ di antara, sehingga $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ dan $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$. Dengan cara ini seseorang tidak perlu khawatir apakah salah satu objek "standar" yang muncul di beberapa bukti tetap berukuran dapat dihitung, atau apakah seseorang masih dapat mengambil kolom dalam$V_{\kappa_1}$ ketika kumpulan indeks tidak persis ukurannya yang dibatasi $\kappa_0$ tetapi telah dimanipulasi sedikit.
PS: Saya baru sekarang menemukan semua pertanyaan dan jawaban MO sebelumnya yang relevan. Beberapa yang sangat relevan adalah jawaban Joel Hamkins di sini dan di sini .
Jawaban
Saya akan mengambil risiko dan menyarankan agar buku HTT tidak pernah menggunakan sesuatu yang lebih kuat daripada pengganti $\Sigma_{15}$-formula teori himpunan. (Sini$15$ adalah bilangan besar yang dipilih secara acak, dan HTT adalah buku matematika yang dipilih secara acak yang tidak secara spesifik membahas teori himpunan.)
Merefleksikan komentar Gabe pada jawaban asli saya, sekarang saya berpikir apa yang saya tulis menyesatkan karena menggabungkan dua pernyataan terpisah (tetapi terkait):
Keberadaan para kardinal yang sangat tidak dapat dihubungi tidak terlalu dibutuhkan dalam teori kategori.
Kekuatan penuh ZFC tidak terlalu dibutuhkan dalam teori kategori.
Saya setuju dengan kedua pernyataan ini, tetapi berpikir bahwa cara terbaik untuk meyakinkan seseorang tentang 1) tidak akan menggabungkan 2) dengan prinsip refleksi: yaitu, seseorang tidak boleh mencoba mengganti penggunaan kardinal yang sangat tidak dapat diakses. $\kappa$ oleh satu untuk itu $V_{\kappa}$ memodelkan sebagian besar ZFC.
Seperti yang saya lihat, "masalah" yang dipecahkan alam semesta adalah untuk membenarkan kombinasi dua jenis penalaran:
A) Terkadang berguna untuk membuktikan teorema tentang kategori kecil $\mathcal{C}$ dengan menyematkannya ke dalam kategori "besar" (misalnya, menggunakan penyematan Yoneda) yang memiliki fitur tambahan yang bagus: misalnya, adanya batas dan kolom.
B) Kategori besar juga merupakan kategori, jadi teorema apa pun yang berlaku untuk kategori secara umum juga harus berlaku untuk kategori besar.
Jika Anda hanya mengkhawatirkan B), maka prinsip refleksi mungkin relevan. Memilih seorang kardinal$\kappa$ seperti yang $V_{\kappa}$ memenuhi sebagian besar ZFC, Anda dapat mendefinisikan kembali kategori "kategori kecil" menjadi "kategori yang dimiliki $V_{\kappa}$"dan" kategori besar "berarti" kategori yang belum tentu dimiliki $V_{\kappa}$", dan Anda dapat merasa yakin bahwa semua teorema dasar yang Anda inginkan valid dalam kedua kasus.
Tetapi jika Anda juga khawatir tentang A), ini tidak selalu membantu. Katakanlah Anda mulai dengan sebuah kategori$\mathcal{C}$ milik $V_{\kappa}$, dan Anda menginginkan beberapa versi penyematan Yoneda. Tebakan alami akan dimasukkan ke dalam kategori fungsi dari$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ ke kategori set ukuran $<\tau$ (atau model yang setara dengannya), untuk beberapa kardinal $\tau$. Tebakan pertama adalah yang harus Anda ambil$\tau = \kappa$, tapi menurut saya ini masuk akal $\kappa$sangat tidak dapat diakses (jika tidak, beberapa kumpulan Hom akan menjadi terlalu besar). Bagaimanapun menjamin bahwa konstruksi ini memiliki properti yang baik, Anda pasti ingin menuntut properti yang berbeda dari kardinal$\tau$. Misalnya, jika Anda ingin kategori pra-daun ini memiliki banyak kolom, maka Anda akan menginginkannya$\tau$untuk memiliki cofinalitas yang besar. Dan jika Anda mulai berpikir tentang jenis asumsi tambahan apa yang mungkin perlu Anda buat, Anda kembali ke awal: memikirkan jenis perkiraan kardinalitas apa yang menjamin "presheave of set of size"$< \tau$"adalah perkiraan yang baik untuk kategori semua preshave set. Jadi, prinsip refleksi tidak benar-benar membantu Anda menghindari masalah tersebut.
(Sunting: Saya menyadari setelah menulis bahwa teks di bawah ini sebagian besar mengulangi posting asli Peter. Tetapi saya akan meninggalkannya di sini jika ada yang menganggapnya berguna.)
Jika Anda menginginkan formalisasi yang ketat dalam sesuatu seperti ZFC, mungkin hal terbaik untuk dilakukan adalah menyingkirkan kategori besar sama sekali. Jadi B) adalah bukan masalah. Untuk menangani A), izinkan saya berkomentar bahwa banyak kategori "besar" yang ingin dibicarakan muncul dengan cara tertentu: satu dimulai dengan kategori kecil$\mathcal{C}$ yang sudah memiliki jenis kolom tertentu, dan secara resmi membesar $\mathcal{C}$ untuk membuat kategori yang lebih besar $\mathcal{C}^{+}$yang memiliki kolom sewenang-wenang (tanpa mengubah yang Anda mulai). Kategori yang muncul dengan cara ini disebut penampilan lokal , dan ada rumus sederhana untuk$\mathcal{C}^{+}$: itu kategori functors $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ yang mempertahankan batasan yang Anda mulai (yaitu, kolom yang Anda gunakan untuk memulai $\mathcal{C}$).
Sekarang, jika Anda ingin meniru ini dalam dunia kategori kecil, Anda dapat memilih beberapa kardinal $\kappa$ dan sebagai gantinya pertimbangkan fungsi $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ kappa$} \}$, yang setara dengan kategori kecil $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$. Pertanyaan yang Anda temui adalah apakah ini merupakan pengganti yang cukup baik untuk kategori besar$\mathcal{C}^{+}$atas. Misalnya, apakah ada banyak batasan dan kolom? Tidak masuk akal untuk memintanya memiliki semua kolom, tetapi Anda dapat menanyakan yang berikut ini:
Q) Apakah kategorinya $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ memiliki kolom yang diindeks oleh diagram ukuran $< \kappa$?
Jawaban untuk Q) adalah "tidak secara umum, tapi ya jika $\kappa$ dipilih dengan baik ". Misalnya, jika Anda memiliki beberapa kardinal tak terbatas $\lambda$ membatasi ukuran $\mathcal{C}$ dan jumlah diagram kolom yang Anda mulai, maka saya yakin Anda dapat menjamin (i) dengan mengambil $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (dan kategori $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$dapat dicirikan oleh properti universal yang diharapkan). Selain itu, untuk membuktikannya, Anda tidak memerlukan penggantian apa pun.
Sekarang Anda juga bisa menanyakan hal berikut:
Q ') Apakah kategorinya $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ memiliki batas yang diindeks oleh diagram ukuran $< \kappa$?
Di sini jawabannya biasanya "tidak" kecuali $\kappa$sangat tidak dapat diakses. Tetapi jika Anda hanya tertarik pada batasan jenis tertentu (misalnya, jika Anda mempelajari Grothendieck topoi, Anda mungkin tertarik secara khusus pada batasan terbatas), maka jawabannya akan lagi "ya untuk$\kappa$ dipilih dengan baik ". Dan ini adalah sesuatu yang dapat Anda buktikan dengan menggunakan sedikit ZFC.
Sekarang klaim saya adalah bahwa, berdasarkan pengalaman saya, diskusi di atas mewakili jenis pertanyaan yang akan Anda hadapi untuk mencoba menavigasi perbedaan antara kategori "kecil" dan "besar" (tentu saja ini mewakili cara hal-hal ini muncul di buku saya, yang ditanyakan oleh pertanyaan asli). Dalam praktiknya, Anda tidak perlu membicarakan keseluruhan kategori besar seperti$\mathcal{C}^{+}$; itu cukup untuk membangun bagian yang cukup besar (seperti$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) memiliki fitur yang ingin Anda lihat, yang dapat Anda atur dengan memilih $\kappa$ hati-hati.
Saya merasa lebih jelas secara konseptual untuk mengabaikan masalah bagaimana segala sesuatunya diformalkan dalam ZFC dan untuk menyusun hal-hal dalam istilah kategori "besar" $\mathcal{C}^{+}$, mengacu kembali pada perkiraan "kecil" nya $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$hanya sebagai pembantu dalam sebuah bukti (yang pasti akan tetap muncul di suatu tempat!). Doa "alam semesta" hanyalah cara untuk menulis seperti ini sambil tetap memberikan basa-basi pada kerangka aksiomatik ZFC, dan jelas tidak penting.
Saya ingin menyebutkan sesuatu yang menurut saya belum ditunjukkan. Pertanyaan awal dimulai dengan
Dalam bahasa set-teoretik, seseorang memperbaiki beberapa kardinal yang sangat tidak dapat diakses $\kappa$... Ini menyiratkan bahwa panggung $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ dari "set ukuran $<\kappa$"Itu sendiri adalah model ZFC.
Namun, pernyataan itu $V_\kappa$ adalah model ZFC secara signifikan lebih lemah daripada mengatakan itu $\kappa$tidak dapat diakses. Faktanya, jika$\kappa$ tidak dapat diakses, lalu $\{ \lambda\mid V_\lambda$ adalah model ZFC $\}$ adalah stasioner di $\kappa$. Oleh karena itu, yang terkecil yang tidak dapat diakses (jika ada) jauh lebih besar daripada yang terkecil$\kappa$ seperti yang $V_\kappa$ model ZFC.
Sejauh prinsip refleksi berguna (yang, seperti yang ditunjukkan oleh beberapa jawaban lain, setidaknya dapat dipertanyakan), ini hanya membantu secara langsung untuk argumen di mana properti yang relevan dari alam semesta Grothendieck adalah model ZFC. Namun, setidaknya ketika dirumuskan secara naif, ada banyak tempat di mana teori kategori menggunakan lebih dari ini. Secara khusus, kami menggunakan fakta bahwa alam semesta Grothendieck memenuhi penggantian orde dua , artinya fungsi apa pun$f:A\to V_\kappa$, dimana $A \in V_\kappa$, memiliki gambar. Mengatakan itu$V_\kappa$model ZFC hanya menyiratkan bahwa ia memenuhi penggantian pesanan pertama , yang hanya memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa seperti itu$f$ memiliki gambar jika $f$ dapat didefinisikan dari $V_\kappa$ dengan rumus logis.
Saya percaya bahwa penggantian orde kedua ada di mana-mana dalam teori kategori berbasis alam semesta seperti yang biasanya dirumuskan. Misalnya, jika${\rm Set}_\kappa$ menunjukkan kategori set dalam $V_\kappa$, lalu untuk membuktikannya ${\rm Set}_\kappa$ adalah "complete and cocomplete" dalam arti naif bahwa ia mengakui batas dan kolom untuk setiap functor yang domainnya kecil, kita perlu penggantian urutan kedua untuk mengumpulkan gambar dari functor tersebut ke dalam satu set.
Sekarang, ada cara untuk merumuskan kembali teori kategori untuk menghindari hal ini. Makalah McLarty melakukannya dalam beberapa cara teori-set. Pendekatan yang konsisten secara kategoris adalah dengan mengganti "kategori besar" yang naif (artinya kategori yang kumpulan objek dan morfismenya mungkin bukan milik$V_\kappa$) dengan besar ${\rm Set}_\kappa$- kategori yang diindeks . Tetapi ini adalah jenis reformulasi yang jauh lebih substansial untuk dilakukan dengan tangan.
Jika saya mengerti dengan benar, Anda mencari pernyataan dalam bentuk:
"Jika sesuatu dibuktikan di HTT menggunakan alam semesta, itu dapat dibuktikan tanpa mereka dengan membatasi beberapa $V_\kappa$ untuk $\kappa$ cukup besar"
Jawaban yang tepat untuk itu, jika kita tidak memiliki informasi lebih lanjut tentang HTT, adalah tidak ada pernyataan seperti itu jika ZFC konsisten.
Memang, ada kemungkinan keberadaan alam semesta tidak konsisten (pada kenyataannya tidak mungkin untuk membuktikan bahwa itu konsisten), dan dalam situasi itu, apa pun dapat dibuktikan dengan menggunakan alam semesta, sehingga pernyataan seperti itu akan menyiratkan bahwa segala sesuatu dapat dibuktikan , yaitu ZFC tidak konsisten.
Saya agak ceroboh tentang apa yang dapat dibuktikan dalam apa, dll. Tetapi ide utamanya ada di sana
Tentu saja, kami mengetahui banyak hal tentang HTT, dan jika kami membacanya dengan cermat kami dapat menganalisis di mana ia menggunakan alam semesta, dan melihat bahwa mereka sebenarnya dapat diganti dengan model transitif pengganti ZC + hingga $\Sigma_{15}$-formula, seperti yang ditunjukkan Yakub. Dalam hal ini, karena terbukti ada model berperilaku baik (dari bentuk$V_\kappa$, untuk $\kappa$dipilih dengan baik), ini bukan masalah; dan HTT dapat ditulis ulang tanpa alam semesta - tetapi ini tidak dapat dibuktikan tanpa pengetahuan tentang apa yang ada di HTT.
"Moral" dari ini adalah bahwa, dalam sebagian besar pertanyaan teoretis kategori arus utama, alam semesta adalah perangkat penghemat waktu, dan bukan bagian sebenarnya dari matematika.
Teorema apa pun $T$ dari $\mathsf{ZFC}$ mengikuti dari subset terbatas aksioma dari $\mathsf{ZFC}$ atau, untuk menjaga agar semuanya tetap sederhana $\mathsf{ZFC}$ di mana skema aksioma penggantian dibatasi $\Sigma_n$ predicatesÂą, sebut ini $\mathsf{ZFC}_n$. Sekarang$\mathsf{ZFC}$, dan lebih tepatnya $\mathsf{ZFC}_{n+1}$, membuktikan adanya kardinal besar sembarangan $\kappa$, batas kuat dari cofinalitas yang tak terhitung, seperti itu $V_\kappa$ adalah model dari $\mathsf{ZFC}_n$, dan, khususnya, dari teorema $T$, dan sedemikian rupa, terlebih lagi, bahwa nilai kebenaran dari apapun $\Sigma_n$ pernyataan, dengan parameter dalam $V_\kappa$ sama $V_\kappa$seperti di alam semesta (sejati). Kita bisa menyebutnya$V_\kappa$ "Alam semesta terbatas" di mana mereka ditutup di bawah sebagian besar operasi teori-himpunan, seperti mengambil set-set kekuatan, kecuali bahwa penggantian harus dapat dihitung (termasuk untuk kenyamanan) atau dibatasi pada $\Sigma_n$predikat; dan khususnya, mereka ditutup di bawah pernyataan keberadaan apa pun$T$ membuat.
Jadi idenya adalah menerapkan hal di atas ke konjungsi $T$ dari semua teorema yang Anda anggap sebagai bagian dari Teori Topos Tinggi (dan teori lain apa pun yang digunakan sebagai prasyarat) dan temukan yang sesuai $n$. (Saya sebenarnya curiga$n=1$ seharusnya cukup: Saya akan sangat terkejut menemukan contoh pengganti dalam matematika biasa yang tidak mengikuti $\Sigma_1$-pengganti.) Lalu $\mathsf{ZFC}_n$ akan membuktikan $T$ (semua teorema teori) dan $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ akan membuktikan keberadaan persediaan alam semesta terbatas yang tak ada habisnya untuk menggunakan teori tersebut.
Tentu saja, untuk menghindari loop tak terbatas, Anda tidak dapat mempertimbangkan bahwa teorema (satu menegaskan keberadaan kehabisan pasokan$V_\kappa$) untuk menjadi bagian dari teori, atau Anda perlu pindah ke teori yang lebih besar $n$.
Untuk menjelaskan apa yang mungkin tampak seperti kontradiksi logis, di sini, harus diklarifikasi bahwa pernyataan keberadaan banyak model $\mathsf{ZFC}_n$ dapat dibuktikan di $\mathsf{ZFC}$ untuk setiap $n$, tetapi tidak seragam (buktinya semakin lama semakin lama $n$ tumbuh), jadi $n$harus berupa bilangan asli yang konkret , yang dikuantifikasi secara universal (di atas $n$) tidak dapat dibuktikan di$\mathsf{ZFC}$. Tetapi ini bukan masalah selama teori Anda diperbaiki dan dirumuskan$\mathsf{ZFC}$ (yang menuntut bahwa ia tidak, dengan sendirinya, mengandung meteorem seperti "untuk beton apa pun $n$ kita bisa membuktikannya sebagai berikut $\mathsf{ZFC}$”). Jadi, terserah Anda untuk memastikan bahwa ini adalah kasus HTT (dan, jika Anda cukup berani, temukan$n$).
(Sekadar memberi gambaran bagaimana jenis kardinal yang terlibat, para kardinal $\kappa$ seperti yang $V_\kappa$ adalah model dari $\mathsf{ZFC}_1$ adalah poin tetap dari $\gamma \mapsto \beth_\gamma$fungsi. Saya rasa tidak ada harapan untuk deskripsi yang masuk akal tentang$\kappa$ seperti yang $V_\kappa$ adalah model dari $\mathsf{ZFC}_n$ untuk beton apa pun $n\geq 2$. Lihat juga pertanyaan ini .)
- Berarti predikat dengan paling banyak $n$ bilangan bilangan tak terbatas bergantian, dimulai dengan bilangan eksistensial, diikuti oleh rumus dengan bilangan terbatas (arti dari bentuk $\forall x\in y$ atau $\exists x\in y$).
Oke, saya menghabiskan banyak waktu hari ini mencoba mencari tahu dengan benar-benar melihat beberapa detail di HTT. Ini perjalanan yang cukup menyenangkan; Saya pasti telah mengubah perspektif saya beberapa kali dalam prosesnya. Saat ini, menurut saya jawabannya adalah HTT, seperti yang tertulis, dapat dibaca dalam sistem formal ini. (Jadi ini seperti dalam lelucon di mana setelah jam kerja seseorang mengatakan "Ya, sudah jelas." Pasti ada poin di mana interpretasi yang benar harus dipilih, tetapi seperti dalam teks matematika apa pun, itu sudah terjadi.) Jadi dengan jawaban ini, saya ingin mengajukan argumen bahwa HTT dapat dibaca dalam sistem formal ini, mencoba menjelaskan sedikit bagaimana menafsirkan hal-hal tertentu jika ambiguitas dapat muncul, dan mengapa menurut saya membacanya dengan cara ini semuanya harus berfungsi. Tapi sepertinya saya melewatkan sesuatu yang penting, jadi mohon koreksi saya!
Seperti yang dicatat oleh Tim Campion, sebagian besar karya awal bekerja tanpa masalah - bahkan, tidak menyebutkan alam semesta. Selama tidak, semuanya berfungsi$V_{\kappa_0}$, di $V_{\kappa_1}$, dan masuk $V$, dan skema aksioma yang diberikan bahkan menjamin bahwa setiap konstruksi yang dibuat akan kompatibel.
Seseorang harus memberi perhatian lebih ketika mencapai Bab 5 dan 6. Izinkan saya mencoba menyajikan beberapa definisi dan proposisi dari bab-bab ini dari tiga sudut pandang yang berbeda.
Sudut pandang ZFC klasik, atau (secara konsisten) salah satu teori von Neumann - Bernays - Gödel (NBG), yang memungkinkan kelas selain himpunan, sehingga kita dapat berbicara tentang kategori (ukuran kelas) dari semua himpunan $\mathrm{Set}$.
Sudut pandang HTT, yaitu alam semesta ZFC + Grothendieck.
Sudut pandang teori himpunan Feferman, dalam bentuk yang disebutkan dalam pertanyaan. (Sebenarnya, saya tidak lagi yakin apakah saya benar-benar membutuhkan batasan cofinalitas ini. Tapi senang mengetahui bahwa itu dapat diasumsikan.)
Perhatikan bahwa pertanyaan yang diajukan mengasumsikan bahwa seseorang benar-benar tertarik pada sudut pandang pertama, dan pada yang lain hanya sejauh mereka merasa nyaman untuk membuktikan sesuatu tentang pengaturan pertama. Ini sejalan dengan isi Bab 5 dan 6: seluruh teori kategori yang dapat disajikan cocok dengan baik ke dalam pengaturan pertama, juga secara filosofis.
OK, jadi ingatlah bahwa kategori yang rapi - izinkan saya tetap menggunakan kategori, bukan $\infty$-kategori, perbedaannya tidak penting untuk perhatian kami - adalah kategori (ukuran kelas) $C$ yang menerima semua colimits kecil, dan seperti itu untuk beberapa kardinal biasa $\kappa$, ada beberapa kategori kecil $C_0$ dan kesetaraan $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,
yaitu $C$ diperoleh dengan bebas berdampingan $\kappa$-filter colimits ke $C_0$. (Khususnya,$C_0$ harus setara dengan subkategori lengkap dari $\kappa$objek -compact dari $C$.) Secara khusus, kategori yang dapat disajikan ditentukan oleh sejumlah kecil data. Juga, idenya adalah itu$C$benar-benar merupakan kategori dari semua objek (set, grup, apa pun). Sudut pandang ini benar-benar paling jelas diartikulasikan dalam 1), sedangkan dalam 2) dan 3) gagasan kemunculan tiba-tiba bergantung lagi pada alam semesta, dan tiba-tiba mereka lagi-lagi hanya berisi himpunan kecil / kelompok / ...; biarlah saya kemudian menyebutnya kecil-rapi. Perhatikan bahwa gagasan ini masuk akal baik dalam 2) dan 3), dan hanya bergantung pada$V_{\kappa_0}$. Kategori kecil-rapi kemudian secara khusus dapat didefinisikan kecil, sehingga tetap hidup$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$, di mana penyertaan ini adalah persamaan dalam 2) (tetapi tidak dalam 3)).
Dalam 2), seseorang biasanya akan mendefinisikan kategori kecil yang dapat disajikan sebagai jenis khusus dari kategori besar, yang merupakan pendekatan HTT. Tapi di sini saya sebenarnya mulai sedikit bingung: Sepertinya ada dua pengertian tentang fungsi$F: C\to D$: Yang didefinisikan dalam $V_{\kappa_0}$, secara ekuivalen $F\in V_{\kappa_0+1}$ (yaitu, $V_{\kappa_0+1}$ persis kelas $V_{\kappa_0}$), atau semua fungsi di $V_{\kappa_1}$. Tampaknya tidak jelas bagi saya bahwa ada functor$F: C\to D$ di $V_{\kappa_1}$ terletak di $V_{\kappa_0+1}$, sebagai $C$ dan $D$ diri mereka sendiri hanya tinggal di $V_{\kappa_0+1}$. Perbedaan antara kedua pengertian ini menghilang ketika seseorang membatasi pada fungsi yang dapat diakses, yang semuanya dapat ditentukan. Perhatikan bahwa 1) mengatakan itu benar-benar gagasan pertama yang harus kita pedulikan! (Sebelum menulis posting ini, saya tidak mengetahui perbedaannya.)
Dalam 3), cara yang tepat untuk melanjutkan adalah dengan menggunakan perspektif yang ditentukan oleh 1), yaitu dari "$V_{\kappa_0}$kategori -definable ", jadi mereka tinggal di $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$. Satu lagi dapat menganggap ini sebagai$\kappa_1$kategori -kecil. Pada awalnya saya berpikir bahwa akan ada perbedaan substansial di sini antara pendekatan 2) dan 3), tetapi sebenarnya tampaknya dalam kedua kasus seseorang sampai pada dua pengertian yang berbeda tentang fungsi, yang direkonsiliasi setelah seseorang membatasi fungsi yang dapat diakses.
Salah satu teorema utama adalah teorema adjoint functor: If $F: C\to D$adalah fungsi dari kategori rapi yang mempertahankan semua kolom kecil, kemudian ia menerima adjoint yang benar. Apa sebenarnya arti dari teorema ini?
Dalam 1), itu berarti ada sebuah functor $G: D\to C$ - yang secara khusus berarti harus dapat didefinisikan dengan rumus, karena inilah fungsi antara kategori ukuran kelas - bersama dengan unit (dapat ditentukan!) dan transformasi satuan yang memenuhi kondisi biasa.
Dalam 2), seseorang hanya memperhatikan $C$ dan $D$ sebagai kecil jika dipertimbangkan $V_{\kappa_1}$dan kemudian menegaskan keberadaan adjoin kanan di sana. Tanpa informasi lebih lanjut, ini sebenarnya tidak memberikan apa yang kita inginkan dalam 1), sebagai apriori$G$(dan transformasi unit dan counit) semuanya terletak di alam semesta yang lebih besar. Tetapi informasi ini dapat diperoleh dengan mengingat itu$G$ sebenarnya dapat diakses (bagian dari teorema fungsi adjoint yang saya hilangkan untuk menyatakan di atas, tetapi harus dimasukkan), dan semuanya ditentukan pada satu set.
Dalam 3), seseorang ingin kembali ke hasil 1), tetapi dapat mencoba melakukan ini seperti pada 2) dengan terlebih dahulu membuktikan keberadaan data tersebut di $V_{\kappa_1}$ dan kemudian membuktikan aksesibilitas, sehingga menghasilkan bahwa segala sesuatu ada di dalamnya $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Mari kita lihat bagaimana hal ini terjadi di beberapa bagian awal Bab 5 di mana alam semesta digunakan.
Definisi 5.1.6.2: Biarkan $C$menjadi kategori yang menerima semua colimits kecil. Sebuah Objek$X\in C$benar - benar kompak jika functor tersebut$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ diwakili oleh $X$ mempertahankan kolom kecil.
Sini $\widehat{\mathrm{Set}}$ adalah kategori set (sangat besar) di $V_{\kappa_1}$. Mari kita tafsirkan apa arti definisi ini dalam sistem di atas.
Sini $C$adalah salah satu kategori (mungkin berukuran kelas). Perhatikan bahwa, terutama di HTT, "lokal kecil" bukanlah hipotesis standar, jadi ini bahkan memungkinkan morfisme antara dua objek menjadi himpunan yang tepat. Untuk alasan ini, functor benar-benar harus pergi ke$\widehat{\mathrm{Set}}$, dan ini adalah sesuatu yang tidak dapat kita bicarakan dalam pengaturan ini. Jadi orang harus merumuskan kembali kondisi untuk memenuhi keberatan ini; ini seharusnya tidak sulit, tetapi mungkin sedikit tidak menyenangkan.
Saya pikir itu tersirat dalam definisi itu $C$ adalah kategori apa pun yang ada di $V_{\kappa_1}$. Ini secara ketat menangkap pengaturan 1) di if$C$ didefinisikan kecil sebagai berasal dari 1), lalu diagram kolom kecil apa pun dalam $C$ secara otomatis dapat didefinisikan kecil.
Di sini kita memiliki dua pilihan: Salah satu dari 1) atau yang dari 2), dan keduanya memberikan pengertian yang berbeda. Dalam kasus konflik, perspektif dari 1) adalah yang benar, jadi$C$dapat didefinisikan kecil, dan seseorang meminta pergantian dengan kolom dari diagram yang dapat ditentukan kecil. Tetapi sementara di 1) kami mengalami kesulitan merumuskan kondisi, alam semesta di tangan dalam 3) berarti bahwa kondisinya sekarang dapat dirumuskan: kita dapat meminta bahwa dibutuhkan titik-titik kecil yang dapat didefinisikan dalam$C$ untuk memasukkan $\widehat{\mathrm{Set}}$. Sini$\widehat{\mathrm{Set}}$ adalah set in $V_{\kappa_1}$.
Jadi dalam hal ini, hasilnya adalah seseorang harus sedikit berhati-hati dalam 3) tentang interpretasi, tetapi dipandu oleh 1) seseorang dapat memberikan definisi yang benar; dan kemudian sistem benar-benar membantu.
Proposisi 5.2.6.2: Biarkan $C$ dan $D$menjadi kategori. Kemudian kategorinya$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ dari fungsi adjoint kiri dari $C$ untuk $D$, dan $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ fungsi adjoint kanan dari $D$ untuk $C$ (secara kanonik) setara satu sama lain.
Dalam perspektif ini, proposisi ini hanya benar-benar masuk akal jika $C$ dan $D$ kecil, seperti sebaliknya $\mathrm{Fun}(C,D)$terlalu besar. (Seseorang ingin mempertimbangkan kategori functor seperti itu ketika$C$ dan $D$rapi (atau dapat diakses), tetapi hanya jika membatasi ke fungsi yang dapat diakses. Jadi itulah pembahasan yang akan muncul nanti di Bab 5.) Kemudian pernyataannya cukup jelas, dan bukti yang diberikan berlaku.
Dalam perspektif ini, saya pikir itu sama dengan 1), kecuali bahwa seseorang juga dapat merumuskan hasil yang sama di alam semesta yang berbeda.
Sama disini.
Namun perlu dicatat bahwa sebagaimana berdiri, dalam 1) proposisi ini tidak dapat (belum) diterapkan dalam kasus $C$ dan $D$rapi. Dalam 2) dan 3), (kecil-) rapi adalah kategori besar khusus, yang hasilnya berlaku. Namun perlu dicatat bahwa kategori functor dan kesetaraannya semuanya hidup di alam semesta yang lebih besar, dan kami tidak mendapatkan informasi tentang mereka yang ada di keduanya.$V_{\kappa_0+1}$ atau $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Proposisi berikutnya mempertimbangkan kategori presheaf $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$, dan buktinya adalah argumen tipikal yang melibatkan perjalanan ke alam semesta yang lebih besar untuk menyelesaikan masalah koherensi homotopi.
Proposisi 5.2.6.3: Biarkan $f: C\to C'$ menjadi fungsi antara kategori kecil dan biarkan $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ menjadi fungsi yang diinduksi dari kategori presheaf yang diinduksi oleh komposisi dengan $f$. Kemudian$G$ adalah sambungan yang tepat untuk $\mathcal P(f)$.
Sini $\mathcal P(f)$ didefinisikan sebagai ekstensi pelestarian kolom kecil yang unik dari $f$ (di bawah embedding Yoneda).
Di sini, kami memiliki dua kategori dan fungsi berukuran kelas di antara mereka, semuanya dapat ditentukan (sebagaimana mestinya). Proposisi akan meminta kita untuk menemukan transformasi unit dan counit (dapat ditentukan!), Membuat beberapa diagram bolak-balik. Ini sepertinya tidak terlalu sulit. Tapi di$\infty$-kategori, sangat sulit untuk mendefinisikan fungsi dengan tangan, jadi ini bukanlah cara Lurie melanjutkan!
Sini $\mathcal P(C)$ dan $\mathcal P(C')$adalah kategori besar khusus. Lurie justru menerapkan penyematan Yoneda besar di buktinya. Jadi ini benar-benar menghasilkan tambahan unit dan counit hanya di beberapa alam semesta yang lebih besar. Seperti dibahas di atas, saya pikir bukti ini sebenarnya tidak memberikan apa yang kita inginkan dalam 1)!
Kita bisa berdebat seperti yang dilakukan Lurie untuk menghasilkan data di "alam semesta" yang lebih besar. (Sunting: Sebenarnya, seperti yang ditunjukkan Tim Campion, seseorang harus membuat jalan memutar yang minimal untuk membenarkan apa yang tertulis. Lihat komentar untuk jawabannya.)
Jadi ketika membaca proposisi ini, baik dalam sistem 2) atau 3), seseorang harus membuat penanda mental bahwa sejauh ini pernyataan itu terbukti lebih lemah daripada yang diharapkan secara naif. Tetapi ini dikoreksi nanti, dengan mengamati bahwa semuanya ditentukan oleh sejumlah kecil data.
Kesimpulan: Meskipun pada awalnya saya pikir akan ada perbedaan substansial antara 2) dan 3), saya sebenarnya berpikir bahwa (hampir) tidak ada. Satu perbedaan adalah itu$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ adalah penyertaan yang tepat, tetapi dalam praktiknya cara untuk menjamin penahanan dalam $V_{\kappa_0+1}$ tampaknya membuktikan kepastian dalam $V_{\kappa_0}$ (misalnya, dengan membuktikan bahwa beberapa fungsi dapat diakses).
Oke, sekarang beri tahu saya mengapa ini tidak berhasil! :-)
Menjawab pertanyaan ini sangat bergantung pada apa yang Anda inginkan dari Teori Topos Tinggi, karena mengungkapkan kekuatan logika yang tinggi adalah tujuan yang berbeda dari mengungkapkan kerangka logis terpadu yang tepat untuk geometri aljabar dan teori bilangan. Fondasi kuat terpadu untuk matematika kategorikal umum adalah salah satu tujuan yang bagus, dan tampaknya menjadi tujuan dari banyak kontributor di sini. Untuk tujuan itu semua yang dikatakan dalam komentar dan jawaban atas pertanyaan ini relevan. Tetapi pekerjaan yang tepat dalam geometri dan teori bilangan tidak membutuhkan kekuatan logis yang luas.
Sementara HTT lebih terkait dengan alam semesta daripada SGA, baik HTT maupun SGA tidak menggunakan skema aksioma (sangat kuat) pengganti. Dengan demikian mereka dapat menggunakan "alam semesta" yang secara radikal lebih lemah dari pada Grothendieck. Sebagai contoh yang khas dan erat, Grothendieck dia membuat hanya satu banding ke skema aksioma penggantian. Itu adalah bukti yang cukup krusial bahwa setiap kategori AB5 dengan genset memiliki suntikan yang cukup. Dan penggunaan pengganti ini ternyata bisa dihilangkan. Itu berhasil, tetapi Grothendieck sebenarnya tidak membutuhkannya untuk mendapatkan hasilnya.
Untuk memperluas penggunaan penggantian Grothendieck: Reinhold Baer pada tahun 1940-an menggunakan induksi transfinite (yang membutuhkan skema penggantian aksioma) untuk membuktikan modul (di atas ring yang diberikan) memiliki cukup injeksi. Dia secara sadar mengeksplorasi teknik pembuktian baru dan mendapatkan hasil yang bagus. Tohoku dari Grothendieck memberikan bukti itu dalam bentuk yang menunjukkan setiap kategori AB5 dengan satu set kecil generator memiliki cukup suntikan - dan beberapa tahun kemudian Grothendieck menemukan teorema ini persis yang dia butuhkan untuk topos cohomology. Baer dan Grothendieck sama-sama memiliki tujuan praktis, tidak terkait dengan masalah fondasi, tetapi keduanya juga ingin mendapatkan fondasi yang benar. Dan mereka melakukannya. Tapi ternyata mereka bisa mendapatkan teorema yang sama, dengan benar, tanpa penggantian, dengan bukti yang hampir sama, dengan menentukan set fungsi yang cukup besar untuk memulai (menggunakan set daya, tetapi bukan penggantian). Ada hasil yang benar-benar membutuhkan skema aksioma pengganti. Tetapi hasil tersebut jarang terjadi di luar penelitian dasar.
Banyak orang yang datang dari sudut yang sangat berbeda (beberapa ahli logika, beberapa tidak menyukai logika) sejak tahun 1960-an telah berkomentar bahwa dalam konteks geometri aljabar dan teori bilangan, kekuatan logika yang tinggi dari aksioma alam semesta Grothendieck, sebenarnya adalah produk sampingan yang tidak terpakai dari Keinginan Grothendieck akan kerangka terpadu untuk cohomology. Itu sekarang dapat dibuat dengan sangat tepat: Seluruh peralatan Grothendieck termasuk tidak hanya kohomologi fungsional yang diturunkan dari toposis tetapi kategori 2 dari toposis, dan kategori turunan, dapat diformalkan dengan cara yang hampir persis sama seperti yang diformalkan oleh Grothendieck, tetapi di kekuatan logika jauh di bawah Zermelo-Fraenkel atau bahkan teori himpunan Zermelo. Hal yang sama berlaku untuk HTT. Anda bisa mendapatkannya tanpa alam semesta atau refleksi yang tidak dapat diakses selama Anda tidak membutuhkan kekuatan pengganti yang luas (dan jarang digunakan). Buktinya belum benar-benar diberikan untuk HTT. Itu telah digunakan untuk penggunaan alam semesta oleh Grothendieck . Tampaknya jelas hal yang sama akan berhasil untuk HTT.
Kekuatan logika yang dibutuhkan telah dinyatakan dengan cara yang berbeda: Teori Tipe Sederhana (dengan aritmatika), Aritmatika Orde Hingga, Teori Dasar dari Kategori Himpunan, Teori Himpunan Pengukur Terikat Zermelo. Secara kasar, Anda menempatkan satu set bilangan asli, dan Anda mengandaikan bahwa setiap set memiliki set pangkat, tetapi Anda tidak menempatkan iterasi tak terbatas dari set pangkat. Sebuah teori alam semesta yang cukup naif dapat diberikan konservatif atas salah satu dari ini (cara teori himpunan Godel-Bernays konservatif atas ZFC) dan memadai untuk semua aparatus struktur besar mazhab Grothendieck.
Saya akan mempertimbangkan perpanjangan konservatif ZFC yang diperoleh dari ZFC dengan penambahan konstanta $\alpha$ dan aksioma berikut:
$\alpha$ adalah ordinal ($Ord(\alpha)$).
Kalimat $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$, untuk setiap kalimat dalam bahasa aslinya $\phi$ (skema aksioma).
$V_{\alpha}$ berperilaku sebagai $V$(untuk semua kalimat dalam bahasa teori himpunan). Jika dua (atau lebih) alam semesta dibutuhkan, satu dapat menambahkan konstanta lainnya$\beta$ dengan aksioma yang sesuai, dan aksioma $\alpha<\beta$.
Bukti bahwa teori yang dihasilkan konservatif atas ZFC adalah mudah.
Asumsikan bahwa $\phi$ dapat dibuktikan dari aksioma baru (aksioma menggunakan $\alpha$), di mana $\phi$dalam bahasa aslinya. Karena bukti apa pun terbatas, ada banyak kalimat yang tak terbatas$\phi_1$, ..., $\phi_n$ seperti yang
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
dapat dibuktikan tanpa aksioma baru. Oleh karena itu, orang dapat memikirkan$\alpha$sebagai variabel bebas dan kalimat di atas dapat dibuktikan dalam ZFC (teorema tentang konstanta). Sejak$\alpha$ tidak terjadi di $\phi$, implikasi berikut dapat dibuktikan di ZFC ($\exists$-pengantar):
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
Sekarang, prinsip refleksi untuk ZFC mengatakan bahwa antesedennya adalah teorema ZFC. Dari modus ponens, ZFC membuktikan$\phi$.
Jadi Anda bisa bekerja dengan aksioma baru dan $V_{\alpha}$ berperilaku sebagai alam semesta, dan segala sesuatu yang terbukti tidak menyebutkan $\alpha$ bisa dibuktikan sudah di ZFC.
Pertanyaan yang muncul di komentar adalah tentang motivasi bertanya. Izinkan saya mencoba membahasnya di sini.
Yang terpenting, ini tentang belajar! Seperti yang saya sebutkan dalam pertanyaan awal, saya sendiri bermain-main dengan beberapa batasan utama yang "bodoh", dan baru kemudian belajar tentang prinsip refleksi, jadi saya ingin memahami apa yang dapat dilakukannya (dan apa yang tidak dapat dilakukannya), dan apakah saya entah bagaimana dapat secara otomatis menurunkan versi rumit lebih lanjut dari perkiraan semacam itu ke dalam mesin ini. Jadi itu adalah hal yang biasa di mana Anda hanya tersandung di ruangan gelap, dan sangat ingin ruangan itu diterangi! Jadi, terima kasih untuk Anda semua atas jawaban yang mencerahkan!
Alasan lain adalah bahwa baru-baru ini saya sedikit frustrasi dengan solusi alam semesta Grothendieck untuk masalah yang dihadapi. Biar saya jelaskan.
Saya sangat ingin berbicara tentang kategori semua himpunan, atau semua kelompok, dll, dan ingin membuktikan teorema tentangnya. Dan, setidaknya dalam teori ZFC versi von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) yang memungkinkan adanya kelas, ini adalah gagasan yang sangat valid. Jadi saya merasa secara ontologis sangat menyenangkan untuk bekerja dalam pengaturan ini, dan akan sangat menyukai teorema adjoint functor menjadi teorema tentang kategori (presentable) dalam pengertian itu.
Sekarang kategori yang dapat ditampilkan ditentukan oleh sejumlah kecil data, sehingga orang selalu dapat bekerja dengan sejumlah kecil data ini dan melacak dengan cermat ukuran relatifnya. Faktanya, banyak bukti di HTT yang secara eksplisit melacak ukuran relatif tersebut, tetapi masih ada beberapa titik yang sebaiknya mengambil "pandangan yang lebih luas" dan melihat kategori besar ini seolah-olah kecil.
Memang, teorema fungsi tambahan adalah tentang fungsi-fungsi di antara kategori-kategori besar, dan membicarakan hal ini dengan cepat dari dalam NBG / ZFC. Perhatikan bahwa pernyataan dari teorema adjoint functor sangat masuk akal - ini hanya meminta agar semua data dari adjunction dapat didefinisikan. Tetapi agak menjijikkan untuk mencoba membicarakan hal-hal ini dari "dalam". Jadi pasti akan menyenangkan memiliki semacam teori-meta yang digunakan untuk berdebat tentang kategori-kategori besar ini, dan berpura-pura bahwa kategori-kategori itu kecil. Pertanyaan halus tentang "definisi dari dalam" mungkin a priori hilang dalam meta-teori ini, tetapi saya menganggap pertanyaan tentang "definisi dari dalam" ini sebagai pusat, karena bagaimanapun yang saya inginkan adalah teorema tentang semua himpunan, jadi saya ' Saya baik-baik saja dengan harus memberi sedikit perhatian padanya - dan, untuk menghilangkan bagian lucunya, ternyata inilah perbedaan yang tepat antara bekerja dengan alam semesta Grothendieck dan bekerja dengan "alam semesta" Feferman.
Jadi inilah kegunaan alam semesta Grothendieck: Mereka selalu memberi Anda alam semesta yang lebih besar untuk setiap alam semesta tempat Anda bekerja saat ini. Saya menemukan keberadaan alam semesta Grothendieck sepenuhnya intuitif, dan pada kenyataannya mengemukakan keberadaannya tampak sepenuhnya setara dengan set tak terbatas di tempat pertama: Anda hanya mengizinkan untuk mengumpulkan semua yang sudah Anda miliki menjadi entitas yang lebih besar.
Tapi sekarang tiba-tiba apa yang dulu saya pikirkan karena semua himpunan disebut himpunan kecil , dan ada juga himpunan yang lebih besar. Jadi bahkan jika saya membuktikan teorema functor adjoint dalam pengaturan ini, itu bukan lagi teorema tentang functors antara kategori semua set / grup / ..., tetapi hanya satu dari functor antara set kecil / grup / .... Jadi jika Anda pikirkanlah, bahkan di alam semesta ZFC + Grothendieck, Anda tidak akan pernah membuktikan bahwa teorema yang benar-benar Anda inginkan, tentang kategori semua himpunan. (Sebenarnya, hingga baru-baru ini, saya berasumsi bahwa teorema adjoint functor (untuk$\infty$-categories) adalah pernyataan ZFC yang telah dibuktikan di bawah "ZFC + Universes", tetapi itu kurang tepat: Pernyataan yang telah dibuktikan bahkan hanya dapat diformulasikan di ZFC + Universe.)
Apa yang telah dibuktikan adalah konsisten dengan teorema adjoint functor. Yakni, dengan asumsi konsistensi ZFC + Universe, Anda sekarang menghasilkan model ZFC - model himpunan kecil dalam model ZFC + Universe - di mana teorema benar. Jadi sekarang Anda bisa bekerja dalam teori "ZFC + teorema fungsi adjoint", di mana teorema fungsi tambahan dapat diterapkan ke kategori semua himpunan / grup / ..., tapi itu pasti terasa seperti curang bagi saya. Anda bahkan tidak membuktikan bahwa "ZFC + Universe + theorema adjoint functor" konsisten! (Anda akan mendapatkannya jika Anda mulai dengan konsistensi sedikit lebih dari yang diminta ZFC + Universe$\kappa$ seperti yang $V_\kappa$memenuhi ZFC + Universe. Sekali lagi, itu tampak seperti asumsi yang benar-benar adil bagi saya - teruskan saja.) Tetapi sekarang Anda mungkin bisa melihat bahaya bahwa Anda secara tidak sengaja menaiki tangga konsistensi saat Anda secara implisit mulai menggunakan semakin banyak teorema yang terbukti untuk set kecil juga untuk semua set.
Akan jauh lebih baik jika Anda tahu bahwa, di alam semesta ZFC + Grothendieck, semua yang Anda buktikan tentang himpunan kecil juga merupakan teorema tentang seluruh kategori ambien dari semua himpunan. Ini tidak otomatis, tetapi Anda dapat menambahkan ini sebagai skema aksioma. Mike Shulman dalam Bagian 12 dari Teori Himpunan untuk teori kategori (arXiv: 0810.1279) membahas gagasan ini (yang ia maksudkan ZMC): Saya merasa secara ontologis cukup menyenangkan, tampaknya juga memiliki aksiomatisasi yang sangat sederhana (bahkan lebih sederhana daripada ZFC!), tapi
a) skema aksioma tambahan ini tidak sepenuhnya jelas bagi saya: Mengapa segala sesuatu yang benar dalam set kecil juga berlaku untuk semua set? (Terutama jika kita memiliki beberapa masalah membuktikan hasil yang diinginkan di tempat pertama Juga, perhatikan bahwa itu pasti tidak. Tidak berlaku untuk setiap gagasan set kecil: Sebaliknya, jaminan aksioma skema yang ada beberapa gagasan set kecil yang semacam ini refleksi memegang. Sekarang ini tampak agak meragukan bagi saya karena pada awalnya saya tidak pernah menginginkan set kecil, jadi sekarang saya mengemukakannya, dan juga meminta agar mereka tetap mencerminkan seluruh perilaku semua set. Mungkin baik-baik saja, tetapi tidak terbukti dengan sendirinya.)
b) kekuatan konsistensi skema aksioma ini jauh lebih tinggi: Ini sama dengan konsistensi seorang kardinal Mahlo. Ini masih rendah seperti yang dilakukan para kardinal besar, tetapi jauh lebih tinggi daripada alam semesta Grothendieck belaka (yang benar-benar rendah di bagian bawah hierarki).
Mengenai a), fakta bahwa kita dapat membuktikan konsistensi teorema fungsi tambahan dari konsistensi alam semesta Grothendieck menunjuk ke arah yang benar, tetapi ini tidak dengan sendirinya menjamin bahwa keduanya konsisten. Saya dapat membayangkan bahwa saya dapat meyakinkan diri saya sendiri bahwa skema aksioma itu masuk akal, tetapi saya tentu berpikir itu membutuhkan lebih banyak pembenaran daripada sekadar alam semesta Grothendieck. (Pertanyaan sampingan: Seberapa besar kardinal besar yang dapat dibenarkan dengan menggunakan gagasan "mengizinkan untuk mengumpulkan semua yang sudah kita miliki"? Saya tidak yakin apakah ini pertanyaan yang sepenuhnya terdefinisi dengan baik ... tetapi bagi saya, sebuah Kardinal terukur jelas tidak seperti itu (tapi saya senang bisa dikoreksi), karena tampaknya mengandaikan munculnya fitur kombinatorial baru.)
Alasan lain saya baru-baru ini sedikit tidak senang dengan alam semesta Grothendieck adalah bahwa sementara dalam beberapa hal kami ingin menggunakannya untuk dapat mengabaikan kehalusan teori-set, dalam beberapa hal mereka kembali menggigit Anda, seperti sekarang Anda harus menentukan dalam alam semesta mana hal-hal tertentu hidup. Kadang-kadang, Anda bahkan mungkin harus menentukan beberapa alam semesta yang berbeda untuk jenis objek yang berbeda (pikirkan berkas gandum pada set yang tak terbatas), dan saya menemukan bahwa itu dengan cepat menjadi sangat jelek. Saya lebih suka semua objek hidup bersama dalam satu alam semesta.
Jadi, sambil memikirkan berkas gandum pada set yang tak terbatas, saya datang untuk menemukan solusi dengan hanya satu alam semesta yang jauh lebih asthetically dan ontologis menyenangkan, dan solusi ini (set kental) dapat diformalkan di ZFC tanpa masalah.
Oke, jadi saya mengklaim bahwa alam semesta Grothendieck tidak benar-benar menyelesaikan masalah yang ingin mereka pecahkan, seperti
a) mereka masih tidak memungkinkan Anda untuk membuktikan teorema tentang kategori semua himpunan / kelompok / ... (kecuali sebagai hasil konsistensi, atau di bawah aksioma kardinal besar yang lebih kuat)
b) bekerja dengan mereka, Anda masih harus khawatir tentang masalah ukuran - kategori Anda dari semua set sekarang menjadi bertingkat menjadi set dari semua jenis ukuran yang berbeda (yaitu di alam semesta yang berbeda).
Selain itu, mereka juga meningkatkan kekuatan konsistensi.
Sekarang, setelah diskusi yang luar biasa di sini, menurut saya proposal Feferman sebenarnya jauh lebih baik. Namun, seperti yang juga dikomentari Mike Shulman, saya menganggap aksioma Feferman tidak menggambarkan dunia yang benar secara ontologis, tetapi saya menganggap "alam semesta" teori Feferman hanya sebagai kemudahan, untuk berbicara tentang kategori besar seolah-olah mereka kecil. Dengan kata lain, teori Feferman secara tepat memberi Anda sebuah meta-teori untuk memperdebatkan tentang kategori besar seperti itu dari "luar". Tapi itu teori yang hanya akan saya gunakan untuk memberikan bukti teorema ZFC. Dibandingkan dengan alam semesta Grothendieck, teori Feferman
a) tidak memungkinkan Anda untuk membuktikan teorema tentang kategori semua set / kelompok / ..., karena secara eksplisit mencakup skema aksioma bahwa semua teorema tentang set kecil juga teorema tentang semua set.
b) Tentu saja, dalam bukti teorema ZFC yang memunculkan beberapa masalah ukuran nontrivial, sangat diterima bahwa teori tersebut memungkinkan Anda untuk berbicara tentang berbagai ukuran. Selain itu, ia melakukannya dengan cara di mana Anda masih dapat menerapkan semua aksioma ZFC ke masing-masing "alam semesta", dan juga berhati-hati "di balik layar" tentang cara menulis ulang segala sesuatu dalam batas-batas utama (yang berpotensi sangat halus) di ZFC sendiri. Jadi ini seperti bahasa pemrograman tingkat tinggi untuk argumen yang melibatkan perkiraan kardinal yang sulit di ZFC.
Selain itu, tidak meningkatkan kekuatan konsistensi, dan pada kenyataannya setiap pernyataan ZFC yang dibuktikan dalam bahasa ini adalah teorema ZFC. (Seperti yang saya ingat di atas, kita juga dapat memiliki a) + b) dengan alam semesta Grothendieck, tetapi kemudian akan mencapai konsistensi dari seorang kardinal Mahlo.)
Jadi, hasilnya adalah saya pikir alam semesta Feferman melakukan pekerjaan yang jauh lebih baik dalam memecahkan masalah menyediakan meta-teori untuk "berbicara tentang kategori besar seolah-olah mereka kecil" daripada yang dilakukan alam semesta Grothendieck.
Izinkan saya menambahkan beberapa alasan terakhir untuk mengajukan pertanyaan tersebut. Saya pikir teknik kategorikal yang lebih tinggi seperti yang ditata dalam HTT sangat penting, tidak hanya dalam topologi aljabar di mana asalnya, tetapi dalam semua matematika. Saya pasti bisa membuktikannya sehubungan dengan teori bilangan dan geometri aljabar. Jadi sentralitas mereka juga merupakan alasan penting untuk menganalisis kekuatan konsistensi mereka.
Membaca HTT adalah hal yang sangat tidak sepele - panjang dan rumit. Namun beberapa rekan teori bilangan mengatakan bahwa salah satu alasan utama mereka tidak dapat membaca HTT adalah karena ia menggunakan alam semesta . Yakni, mereka sangat terbiasa dengan ZFC (dan memeriksa dengan sangat hati-hati!) Sehingga mereka secara otomatis akan mencoba menghilangkan penggunaan alam semesta dalam sebuah argumen. Sekarang di SGA, setidaknya jika Anda hanya tertarik pada aplikasi untuk menjelaskan kohomologi skema yang masuk akal, ini adalah sesuatu yang dapat Anda lakukan dengan tangan - misalnya, tambahkan beberapa asumsi yang dapat dihitung untuk membuat hal-hal kecil. Namun, di HTT saya tidak melihat bahwa seseorang dapat memasukkan batasan utama saat Anda membaca - argumennya terlalu rumit untuk ini.
Jadi sekarang saya harap saya dapat memberi tahu mereka bahwa mereka dapat memeriksa bahwa semuanya berfungsi di ZFC, dan mereka masih dapat membaca HTT (pada dasarnya) seperti yang tertulis, jika mereka membacanya dalam teori himpunan Feferman. Jika mereka memeriksa dengan cermat (yang mana yang akan mereka lakukan), mereka mungkin masih perlu mengisi sedikit lemma di sini dan beberapa argumen tambahan kecil di sana - tetapi mereka harus melakukannya juga, di buku mana pun yang terdiri dari ~ 1000 halaman, dan saya mungkin membayangkan bahwa kurang dari separuh pernyataan sampingan ini berkaitan dengan penggantian alam semesta Grothendieck dengan "alam semesta" Feferman. Jika ada orang yang benar-benar menjalankan proyek itu, tentu saja mereka berhak mendapatkan pujian penuh jika mereka berhasil dalam pekerjaan penting ini!
Izinkan saya mengakhiri dengan catatan yang sangat singkat tentang apa yang tampaknya menjadi poin penting utama dalam terjemahan teori Feferman. Saya mulai memahami poin yang dikemukakan Tim Campion dalam jawabannya, dan sekarang saya melihat bahwa ini juga disebutkan dalam jawaban kedua Jacob Lurie. Secara kasar, ini adalah sebagai berikut. Jika$C$ adalah kategori yang rapi, lalu ada beberapa kategori kecil $C_0$ seperti yang $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
untuk beberapa kardinal biasa $\kappa$, berdampingan dengan bebas semuanya kecil $\kappa$kolom -filter. Ini membuat$C$ secara alami merupakan persatuan $C_\tau$di mana $C_\tau$ hanya mengumpulkan $\tau$-kecil $\kappa$kolom -filter. Sini$\tau$ adalah kardinal biasa seperti itu $\tau\gg \kappa$. Struktur yang meningkat ini$C$ sebagai persatuan dari $C_\tau$Itu adalah sentral dalam teori kategori rapi, tetapi tingkatannya benar-benar disebutkan oleh (tertentu) para kardinal biasa. $\tau$. Jika Anda meningkatkan semesta Anda, maka Anda juga mendapatkan versi yang lebih besar$C'$ dari $C$ sendiri, dan di alam semesta Grothendieck $C$ sekarang menjadi salah satu lapisan yang bagus $C'_\tau$ dari $C$, dimana $\tau$adalah titik puncak dari alam semesta sebelumnya. Tapi di alam semesta Feferman, ini$\tau$tidak biasa. Ini mungkin membuat beberapa argumen lebih halus, tetapi saya berharap seseorang biasanya dapat menyelesaikan masalah ini hanya dengan menyematkan$C$ menjadi beberapa $C'_\tau$ dengan $\tau$ beberapa kardinal biasa lebih besar dari kardinal cutoff alam semesta yang lebih kecil.
Menanggapi suntingan yang memaku semuanya ke sistem formal yang melibatkan para kardinal $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$:
Saya akan mengambil keputusan yang mungkin lebih keliru dan memprediksi bahwa untuk memasukkan Bab 1-4 ke dalam sistem formal ini, tidak diperlukan aritmatika kardinal yang sebenarnya. Sebaliknya, untuk bagian buku ini, yang harus Anda lakukan adalah memeriksa dan menambahkan berbagai pernyataan teorema hipotesis dalam bentuk "$X$ aku s $\kappa_{-1}$-small ". Bagaimanapun, bagian buku ini benar-benar hanya membahas benda-benda kecil, dengan pengecualian beberapa benda besar tertentu seperti kategori himpunan sederhana kecil, kategori kategori kecil sederhana, dll, dan hal-hal seperti kategori irisannya Berbagai struktur model dibangun, tetapi saya percaya dalam setiap kasus seseorang dapat menggunakan kasus khusus dari argumen objek kecil untuk menghasilkan kofibrasi / kofibrasi asiklik antara objek yang dapat dipresentasikan secara halus, sehingga tidak diperlukan induksi transfinite. Sepintas lalu, pelurusan / pelurusan memiliki tampilan konstruksi yang mungkin menggunakan teori himpunan dengan cara yang serius, tapi saya akan teruskan dan memperkirakan bahwa tidak ada masalah pada sistem formal yang diusulkan.
Bab 5 menjadi lebih menjengkelkan. Saya percaya bahwa seseorang harus membuat beberapa pilihan yang cermat tentang teorema inti dari presentable ($\infty$) -kategori. Apa yang membuat kategori presentable dicentang adalah bahwa mereka mengemas teorema adjoint functor dengan sangat rapi, tetapi seperti yang Anda katakan, teorema adjoint functor biasa hadir dengan peringatan dalam pengaturan ini. Saya mungkin melangkah lebih jauh dengan mengatakan bahwa seluruh poin pemikiran tentang kategori yang layak di tempat pertama sepenuhnya dibatalkan dalam pengaturan ini. Anda tidak akan dapat membuktikan hal-hal dasar seperti "kategori yang rapi adalah pelokalan yang dapat diakses dari kategori pra-undangan". Saya memperkirakan bahwa pilihan apa pun yang dibuat tentang merumuskan versi lemah dari teorema inti kategori yang dapat disajikan dalam pengaturan ini, akan ada beberapa aplikasi atau aplikasi potensial yang menderita.
Bab 5 dan 6 juga berisi beberapa teorema tentang kategori yang sangat besar tertentu seperti $\infty$-kategori rapi $\infty$-kategori dan $\infty$-kategori $\infty$-topoi [1]. Sistem ini tampaknya seperti bahwa ini tidak akan benar-benar menjadi masalah per se , kecuali bahwa masalah yang dihadapi dalam teori presentability dasar sekarang akan diperparah. Anda tidak akan bisa membuktikannya$Pr^L$ adalah ganda untuk $Pr^R$. Anda tidak akan dapat membuktikan teorema Giraud (yah, definisi akan terus berubah, jadi saya harus menjelaskan: Anda tidak akan dapat membuktikan bahwa pelokalan yang dapat diakses secara tepat dari kategori presheaf sama dengan lokal kecil kategori yang memenuhi daftar kondisi kelengkapan, generasi, dan ketepatan). Jadi setiap teorema tentang$\infty$-topoi yang pembuktiannya dimulai dengan kasus presheaf dan kemudian melokalkannya harus dipikirkan ulang sepenuhnya.
Mungkin saya salah di sini, tapi saya percaya bahwa kerja ekstra yang signifikan dan ide-ide matematika yang benar-benar baru akan dibutuhkan untuk Bab 5 dan 6, dan hasilnya adalah teori yang secara substansial lebih sulit digunakan.
Sebaliknya, menurut saya jika Anda ingin membatasi perhatian pada kategori besar yang dapat ditentukan dari parameter kecil, meskipun Anda akan kehilangan kemampuan indah untuk mengatakan "kami membuktikan ini untuk kategori kecil tetapi sekarang kami dapat menerapkannya ke kategori besar ones ", Anda akan mendapatkan teori presentabilitas yang jauh lebih bisa digunakan, tanpa meninggalkan ZFC.
[1] Sebenarnya, dalam fondasi biasa, kategori-kategori ini (setara) hanya besar dan tidak terlalu besar (lebih tepatnya, mereka memiliki $\kappa_0$benda -banyak dan $\kappa_0$-sized homs), tetapi sedikit pekerjaan diperlukan untuk menunjukkan ini. Akankah hal itu masih terjadi dalam sistem formal ini? Saya tidak yakin.
EDIT: Sebuah komentar panjang dalam menanggapi Peter Scholze ini jawabannya .
Satu hal yang baru saya sadari adalah jika$\kappa_0$ bukan sebuah $\beth$-titik tetap, maka tidak setiap set masuk $V_{\kappa_0}$ memiliki kardinalitas $<\kappa_0$, sehingga pengertian "kecil" dikalikan. Untungnya, saya pikir sistem formal Anda membuktikan hal itu$V_{\kappa_0}$ memiliki $\Sigma_1$-replacement, yang menyiratkan bahwa itu a $\beth$-titik pasti. Krisis dihindari!
Mungkin pendekatan yang secara sistematis menggunakan hipotesis ketetapan dalam "pengaturan alam semesta" ini akan bisa diterapkan - menggabungkan yang "terbaik dari kedua dunia". Satu hal yang menyenangkan adalah bahwa meskipun Anda secara eksplisit menggunakan hipotesis metamathematical, tampaknya Anda masih dapat menyatakan dan membuktikan teorema ini sebagai teorema tunggal daripada skema.
Saya agak bingung tentang Proposisi 5.2.6.3 (yang terakhir Anda diskusikan, dan versi bayi dari teorema fungsi adjoint). Saya menganggap itu kategori presheaf$P(C)$ akan ditentukan untuk terdiri dari fungsi-fungsi tersebut $C^{op} \to Spaces$ yang terletak $Def(V_{\kappa_0})$. Ketika kita beralih ke alam semesta yang lebih besar, transisi biasanya berjalan mulus, seperti yang kita harapkan$P(C)$ agar semua kolom diindeks oleh $\kappa_0$-kategori kecil - properti yang sangat alami untuk dikerjakan $V_{\kappa_1}$. Memang, langkah pertama dari bukti Lurie 5.2.6.3 adalah untuk menunjukkan bahwa adjoint kiri ada menggunakan fakta bahwa$P(C)$memiliki semua kolom kecil [2]. Namun, dalam situasi sekarang kita tidak pernah bisa berasumsi seperti itu$\kappa_0$ teratur, dan karena itu kami tidak pernah bisa berasumsi seperti itu $P(C)$memiliki semua kolom kecil. Hal terbaik yang bisa kami katakan adalah itu$V_{\kappa_0}$ berpikir $P(C)$memiliki semua kolom kecil. Selama kita bekerja$V_{\kappa_0}$, properti ini "sama baiknya" dengan benar-benar memiliki semua colimits kecil. Tapi saat kita naik ke$V_{\kappa_1}$, tiba-tiba kita harus memikirkannya apa adanya - properti metamathematical. Mungkin nanti saya akan duduk dan mencoba melihat apakah bukti Lurie tentang 5.2.6.3 dapat berfungsi dalam pengaturan ini, tetapi menurut saya prima facie tidak jelas.
[2] Hanya setelah memverifikasi keberadaan secara abstrak dengan cara ini dia menunjukkan bahwa adjoint kiri harus menjadi fungsi yang ditunjukkan. Tentu saja, manuver ini sebenarnya merupakan komplikasi tambahan yang menyertai$\infty$-pengaturan kategoris - dalam kategori biasa, rumus untuk dua fungsi dapat langsung diverifikasi menjadi adjoint, tetapi dalam $\infty$-kategori rumus untuk adjoint kiri jelas tidak berfungsi.