“ $\Sigma_1^1$-Peano aritmatika ”- menjabarkannya $\mathbb{N}$?

Question

Membiarkan $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$menjadi teori dalam logika orde kedua yang didapat dengan memperluas aksioma orde pertama Peano yang biasa untuk memasukkan sewenang-wenang$\Sigma^1_1$rumus dalam skema induksi. Pertanyaanku adalah:

Apakah $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ punya model yang tidak standar?

Perhatikan bahwa model $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ persis seperti model $\mathsf{PA}$ tanpa (hak nontrivial) $\Sigma^1_1$pemotongan -definable.

Jika kita ganti $\Sigma^1_1$ dengan $\Pi^1_1$ jawabannya langsung negatif, karena himpunan elemen standar model $\mathsf{PA}$ aku s $\Pi^1_1$. Namun, sepertinya tidak ada yang serupa untuk berhasil$\Sigma^1_1$ (meskipun saya bisa dengan mudah melewatkan sesuatu yang jelas).

Satu pengamatan cepat adalah itu $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$memang memerlukan aritmatika orde pertama yang benar . Diberikan rumus orde pertama$\varphi(x)$, biarkan $\hat{\varphi}(x)$ jadilah $\Sigma^1_1$ formula "Ada potongan yang mengandung $x$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen potongan memuaskan $\varphi$. "Jika $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ kita punya sepele $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; dengan menginduksi kompleksitas$\varphi$ kami dapat menunjukkan bahwa jika setiap bilangan asli standar memuaskan $\varphi$ kemudian $0\in\hat{\varphi}^M$ dan akibatnya $M\models\forall x\varphi(x)$ (yang kemudian memberi $M\equiv\mathbb{N}$). Namun, saya tidak melihat bagaimana menggunakan ini untuk mendapatkan kategorisasi. Faktanya, sejauh yang saya tahu itu mungkin bahwa misalnya setiap ultrapower nontrivial$\mathbb{N}$ memuaskan $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Perhatikan itu$\Sigma^1_1$hukuman diawetkan dengan mengambil kekuatan super; Namun, contoh induksi untuk a$\Sigma^1_1$ rumusnya adalah $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ dan $\Pi^1_1$ kalimat tidak disimpan dengan menggunakan kekuatan super, jadi ini sepertinya tidak membantu.)

Answer 1

Jika Anda mengizinkan $\Sigma^1_1$ rumus memiliki parameter, lalu PA$_{\Sigma^1_1}$hanya model standar. Untuk membuktikannya, gunakan$\Pi^1_1$ definisi standarisasi untuk menghasilkan a $\Sigma^1_1$ rumus $\sigma(x,y)$ mengatakan itu $x<y$ dan $y-x$ tidak standar, yaitu, $x$ jauh di bawah $y$. Sangat mudah untuk menunjukkannya$\sigma(x,y)$ menyiratkan $\sigma(x+1,y)$. Jadi, oleh$\Sigma^1_1$ induksi, jika $\sigma(0,y)$ kemudian $\forall x\,\sigma(x,y)$ dan, khususnya, $\sigma(y,y)$, yang tidak masuk akal. Begitu$\neg\sigma(0,y)$. Tapi itu artinya$y$ adalah standar.