Come alleghiamo un file $2$-cellula?

Question

Questo è un problema della topologia algebrica di Hatcher

"Calcola l'omologia dello spazio ottenuto da $D^2$ eliminando prima gli interni di due sottodischi disgiunti all'interno di $D^2$ e quindi identificare tutti e tre i cerchi di confine risultanti insieme tramite omeomorfismi preservando gli orientamenti in senso orario di questi cerchi ".

Ho trovato una soluzione qui https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Dalla foto puoi vedere che la soluzione utilizza una struttura CW e ha detto che il file$2$-cellula $U$ si attacca alla parola $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. La mia domanda è: perché?

Mi sembra più razionale attaccare $U$ per $abab^{-1}cac^{-1}$poiché vogliamo che tutti e 3 i cerchi siano in senso orario. Posso capire vagamente la procedura: iniziamo da$x$, poi andiamo in giro $a$, ora passiamo $b$ per raggiungere il cerchio interno da quello esterno, e poi facciamo il giro $a$ di nuovo, poi facciamo lo stesso per $c$. Ma perché andiamo in senso antiorario quando raggiungiamo l'interno?

Answer 1

Pensa a te stesso seduto dentro $U$e pensa a come si avvolge il confine. Inizi dall'alto$x$ quindi fai un giro in senso orario attorno al cerchio esterno ($a$), quindi una passeggiata lungo il segmento $b$ (ora hai finito $ab$) quindi una passeggiata in senso antiorario lungo il cerchio interno sinistro ($aba^{-1}$), quindi torna indietro $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) eccetera.

Il punto è che quando sei dentro $U$le passeggiate lungo i cerchi interni sono antiorarie; opposto in direzione della passeggiata attorno al cerchio esterno. Ricorda solo che l'interno di$U$ è sempre dalla stessa parte di cui si cammina lungo il confine.