Dimostrare l'esistenza di una soluzione per l'ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
Permettere $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ essere differenziabili due volte con $f'' > 0$, e lascia $u_- > u_+$essere numeri reali. Mostra che esiste una soluzione$\varphi(x)$ alla seguente equazione differenziale: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ tale che $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, e dove $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.
Il mio tentativo iniziale è di osservare che questo DE può essere ben integrato con quanto segue: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Quindi, è sufficiente mostrare invece l'esistenza di una soluzione per questo DE, dove siamo liberi di scegliere $C$. Ho tentato di portare RHS a LHS, che fornisce:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ dove $D \in \Bbb{R}$. Quindi, se definiamo:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ e supponendo che $g$ è invertibile, quindi $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ sarebbe una soluzione a $(2)$. Tuttavia, ci sono alcuni problemi in questo approccio che dobbiamo affrontare:
- L'integrale non avrà senso se $f(\varphi) - s\varphi + C$ svanisce a un certo punto $\Bbb{R}$. Poiché siamo liberi di scegliere$C$, se possiamo dimostrarlo $f(\varphi) - s\varphi$ è delimitato dall'alto o dal basso, quindi una tale scelta di $C$esisterà. Sospetto che possiamo usare la convessità e la definizione di$s$ per dimostrarlo, ma finora i miei tentativi sono stati vani.
- Se l'integrale ha senso, un altro problema è se $g$è invertibile. Tuttavia, questo non dovrebbe essere un problema come da FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ quindi se il denominatore non svanisce, $g'$ è continuo e quindi deve essere strettamente positivo o negativo, quindi $g$ è rigorosamente monotono, quindi invertibile.
- Il problema più grande qui è che questa definizione non garantisce il requisito di $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Ho provato a manipolare l'integrale per adattarsi a questa condizione, ma finora senza risultati.
Ho anche provato altri approcci, come l'utilizzo dell'iterazione di Picard, ma poiché questo problema non è realmente un IVP, non hanno avuto successo.
Qualsiasi aiuto è apprezzato.
Risposte
Utilizzando i limiti in $\pm\infty$, noi troviamo $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$vedere questo esercizio in Evans PDE. La rigida convessità di$\varphi\mapsto \varphi'$ segue dalla convessità rigorosa $f''>0$ di $f$. Questa proprietà produce$\varphi' < 0$ per $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Perciò,$\varphi$ è una funzione decrescente graduale, che decresce da $u_-$ per $u_+$. Studiare la stabilità dell'equilibrio$\varphi = u_\pm$, calcoliamo il segno della derivata $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ all'equilibrio, che è negativo a $\varphi = u_+$ e positivo a $\varphi = u_-$a causa della rigida convessità. Perciò,$u_+$ è un equilibrio attraente e $u_-$è un repellente equilibrio. Dal momento che il file rhs. dell'equazione differenziale di cui sopra non è singolare e non possiede radici aggiuntive, qualsiasi soluzione limitata collegherà necessariamente entrambi i valori$u_\pm$ attraverso una regolare funzione decrescente $\varphi$. L'integrando in$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ è singolare ai limiti $\varphi = u_\pm$. La convergenza di questo integrale improprio deriva dal suo comportamento asintotico ai limiti.