È possibile che$2^{2A}+2^{2B}$è un numero quadrato?
Siano A e B due interi positivi maggiori di$0$. È possibile che$2^{2A}+2^{2B}$è un numero quadrato?
Ho problemi con questo esercizio perché ho la sensazione che la risposta sia no, ma non posso approfondire la dimostrazione. Finora quello che pensavo era presumere che ci fosse un numero intero$C>0$tale che$2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Quindi$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Stavo cercando di vedere se l'espressione precedente potesse contenere una contraddizione ma mi sono bloccato. Tutto quello che ho trovato è quello$C$deve essere un numero pari ma questo non sembra portarmi da nessuna parte. Gradirei qualsiasi aiuto.
Grazie in anticipo!
Risposte
Senza perdita di generalità, let$A>B$. Quindi$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$è un quadrato implica$2^{2A-2B}+1$è un quadrato come$2^{2B}$è un quadrato. Ma questo è impossibile da allora$2^{2A-2B}$è un quadrato.
La risposta di Shubhrajit Bhattacharya ne fornisce una prova semplice e diretta$2^{2A}+2^{2B}$non può essere un quadrato Ma solo per divertimento, finiamo l'approccio dell'OP (che inizialmente pensavo portasse a un vicolo cieco).
Se$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, poi$(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, che significa che$2^A+2^B+C$e$2^A+2^B-C$sono entrambe potenze di$2$, e ovviamente diversi poteri di$2$, dire$2^a$e$2^b$insieme a$a\gt b$e$a+b=A+B+1$. Ma questo implica
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Se ora assumiamo, senza perdita di generalità, che$A\ge B$, noi abbiamo
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Adesso$a\gt b$implica$2^{a-b}+1$è un numero dispari maggiore di$1$, da cui segue che dobbiamo avere$A\gt B$(altrimenti il lato sinistro è una potenza di$2$, non un multiplo di un numero dispari maggiore di$1$). Questo a sua volta implica$b=B+1$e$a-b=A-B$, da cui otteniamo
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
in contraddizione con$a+b=A+B+1$.
Nota: sono rimasto un po' sorpreso dalla natura della contraddizione qui, e ho dovuto controllare attentamente il mio lavoro per assicurarmi di non aver commesso uno stupido errore aritmetico.
Fallo e basta.
Assumiamo senza perdita di generalità che$A \le B$Così
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Quindi se questo è un quadrato perfetto allora dobbiamo averlo$(2^{B-A})^2 + 1$essere un quadrato perfetto.
Ma$(2^{B-A})^2$è un quadrato perfetto quindi abbiamo due quadrati perfetti consecutivi. Dovrebbe essere facile convincersi che l'unica volta che si verifica è$0^2$e$1^2$. (Prova come addendum).
Quindi l'unico modo in cui ciò può accadere è se$(2^{B-A})^2 = 0$e$(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Ma$2^{B-A} = 0$non è possibile.
====
Addendume: allora lo sono solo due quadrati consecutivi$0$e$1$.
Dimostrazione: supponiamo$m^2 = n^2 + 1$. dove$m,n$sono numeri interi non negativi.$n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$Così$n < m \le m+1$. Ma gli unici numeri interi tra$n$(esclusivo) e$n+1$(incluso) è$n+1$Così$m = n+1$. E così$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$Così$2n = 0$e$n = 0$e$m =1$.
Supponiamo che$2^{2A}+2^{2B}$è un quadrato perfetto. Senza perdita di generalità, supponiamo$A \geqslant B$. Quindi, lascia$A-B=x$, dove$x$è un numero intero non negativo. Ne consegue che abbiamo:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Ora, se la sinistra è un quadrato perfetto, anche la destra deve essere un quadrato perfetto. Ne consegue che$2^{2x}+1$è un quadrato perfetto. Lascia che sia così$n^2$. Abbiamo quindi:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$Ora, abbiamo bisogno$n-1$e$n+1$essere entrambi perfetti poteri di$2$. Questo può accadere solo per$n=3$. Tuttavia, anche allora, avremmo solo$2^{2x}=8$che è impossibile come$x$è un numero intero. Quindi, non esistono soluzioni.
Noi avremmo$k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, impossibile come$k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.