È possibile differenziare $\sin x$ riguardo a $\cos x$ dai primi principi?

Question

Oggi stavo facendo un problema di pratica per un test di ammissione all'università, dove mi chiedeva di differenziare $\sin x$ riguardo a $\cos x$. La soluzione che ho trovato utilizzava la regola della catena:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Tuttavia, più pensavo a questo problema, più mi faceva sentire un po 'a disagio. Non capisco bene cosa significhi differenziare una funzione rispetto a un'altra funzione, ammesso che sia possibile. Quindi ho provato a differenziare$\sin x$ riguardo a $\cos x$ dai primi principi, solo così sapevo con cosa stavo lavorando:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

L'idea alla base di questo era curare $\cos x$proprio come farei con qualsiasi altra variabile. Tuttavia, questo mi ha dato la risposta errata di$(\cos \circ \cos)(x)$e non riesco a capire perché. Esiste un modo intuitivo di pensare a cosa significa differenziare una funzione rispetto a un'altra?

Answer 1

Vuoi misurare un cambiamento in $\sin{x}$ rispetto a un cambiamento in $\cos{x}$. Quindi tu vuoi$\sin{x}$ come una funzione di $\cos{x}$, che non è la stessa cosa di $\sin(\cos{x})$. Qui sta il tuo problema fondamentale.

Cosa vuoi: se $x \in [0, \pi]$, poi $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, e così \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} come desiderato.

Esercizio: cosa succede quando $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Impostato $y=\cos x$, quindi, per $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Per quanto riguarda il limite, dovresti scrivere $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$