Esempio elementare per la forma indeterminata $1^\infty$

Question

Sto parlando di matematica con un brillante liceale, che non ha ancora visto i logaritmi in classe. (Abbiamo introdotto con successo i log come l'inverso dell'esponenziazione.) È incuriosita da questo video e dalle forme indeterminate. Abbiamo discusso di come "$1^\infty$"è davvero lo stesso di"$0/0$".

Vorrei ora discutere un esempio di "$1^\infty$". Purtroppo, ogni esempio posso venire con, e tutto ciò che trovare su internet, usi che$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ come $t\to 0$, che è " un fatto ben noto " o un'applicazione della regola di L'Hospital - entrambi i quali trovo insoddisfacenti.

C'è un esempio non banale per il "$1^\infty$"forma indeterminata (quindi, non solo $1^t$ per $t\to\infty$) che può essere analizzato usando solo la definizione del logaritmo come funzione inversa all'esponenziazione, senza calcoli o fatti avrei bisogno di tirare fuori dal cappello?

Answer 1

Chi può dimenticare il classico esempio:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Se ci espandiamo $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ con il teorema binomiale e confrontare i termini con le corrispondenti potenze di $1/n$ per diversi valori di $n$, troviamo che questa funzione aumenta come $n$ aumenta senza limiti, ma la funzione è limitata dalla serie convergente

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Quindi il limite è garantito ad esistere ed è quindi definibile come $e$, da cui la regola $[\ln(1+x)]/x\to1$ come $x\to 0$ segue.

Answer 2

Perché non solo aggiustare $k>0$ (per esempio $k=2$) e guarda $(k^{1/n})^n$?

È abbastanza chiaro intuitivamente che $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ come $n\to\infty$; d'altra parte, chiaramente$n\to\infty$ quando $n\to\infty$. Quindi, hai il caso$1^\infty$ che converge effettivamente a $k$ (e non solo converge a $k$ma è costante ), che hai scelto arbitrariamente per iniziare.

Ora questo è facile da espandere con $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ o $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, che convergono a $0$ e $\infty$ (in un certo ordine, purché $k\ne 1$).

Answer 3

Noi cerchiamo $f,\,g$ con $f\to1,\,g\to\infty$, dì come $x\to0$, così che $f^g$ può avere qualsiasi limite $L\in[0,\,\infty]$o nessuno. Esempi:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ per $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ per $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ per $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ per $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ per $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ per $\lim_{x\to0}f^g$ essere indefinito.

Il rimpiazzo $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ Spettacoli $1^{-\infty}$ funziona allo stesso modo, ma nessuno lo elenca separatamente.