Un problema combinatorio e l'interpretazione delle probabilità

Question

Per una variabile vettoriale gaussiana $w\sim N(0,I_{n\times n})$, i momenti di norma quadrata sono $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

Basato sul teorema di Isserlis ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ può anche essere valutato come $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ dove $\mathcal{P}([r])$ significa tutte le partizioni sul set $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ è una partizione, $p$ è un blocco in una partizione, $|\pi|$ e $|p|$ sono il numero di blocchi e il numero di elementi in un blocco.

Consideriamo ora una variante del problema precedente. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ La formula sopra differisce solo dai momenti della norma quadrata della variabile vettoriale gaussiana con un fattore $\frac{1}{2}$. Esiste una soluzione di prodotto finito simile e un'interpretazione di probabilità per la formula precedente?

Answer 1

Risolvi $n$. Permettere$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Permettere $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Secondo la formula compositiva (Teorema 5.1.4 di Enumerative Combinatorics , vol.2), il numero che vuoi è$r!$ volte il coefficiente di $x^r$ nel $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Puoi espandere questo con il teorema binomiale e quindi espandere ogni termine in una serie di potenze per ottenere una formula per il tuo numero come somma con $n$ termini.