간단한 증명

짝수에 짝수를 더하면 짝수가 됩니다.

홀수에 홀수를 더하면 홀수가 됩니다.

홀수 더하기 짝수는 홀수를 만듭니다.

당신은 아마도 초등학교에서 그 간단한 규칙을 배웠을 것입니다. 나는 ~였다. 그리고 그것은 사실인 것 같습니다. 몇 가지 다른 숫자로 몇 번 시도하면 항상 작동합니다. (그렇지 않으면 작업을 확인하십시오. 여전히 작동하지 않으면 게시하십시오.)

그러나 모든 숫자에 대해 작동합니까? 아무리 커도?

우리가 일반적으로 학교에서 가르치는 수학과 수학자들이 하는 수학의 차이점은 다음과 같습니다.

1. 학교에서 우리는 '수학을 할 때' 사용할 수 있도록 이런 종류의 규칙을 배웁니다.
2. 수학자들은 규칙이 무엇인지 발견하고 그러한 규칙이 참인(또는 거짓인) 이유를 보여줄 수 있는 가장 간결하고 우아한 주장을 제시하려고 노력합니다.

Paul Lockhart가 자신의 에세이 A Mathematician's Lament에서 설득력 있게(그리고 유머러스하게) 설명했듯이 진리를 찾는 기술은 진정한 수학이자 많은 재미입니다. 그리고 그것은 때때로 학교에서 가르치는 형식적이고 엄격한 증명일 필요는 없습니다. 패턴을 찾고 우아한 주장을 하는 것입니다.

어린 학습자에게 홀수와 짝수의 합에 대한 규칙을 알려주는 대신 먼저 규칙이 무엇인지 파악하도록 요청한 다음 왜 규칙인지에 대한 설명을 제시하도록 요청하면 어떨까요?

다음은 가능한 많은 솔루션 중 하나인 '증명'에 포함될 수 있는 사고 유형의 예입니다.

먼저 추상적인 숫자가 아니라 유형의 물체(이 경우에는 사각형)로 세어 봅시다. 다음은 다섯 개의 사각형입니다.

[여러 개의 임의로 배치된 사각형 그림]

짝수는 2로 나눌 수 있음을 의미하므로 짝수의 정사각형을 같은 길이의 두 행으로 배열할 수 있고 끝이 '정사각형'이 된다는 것을 알고 있습니다.

반면에 홀수는 항상 행이 정렬되지 않는 '비정형' 끝을 갖습니다.

이 그림들을 재정렬하면 이제 우리의 규칙이 사실임을 알 수 있습니다. 끝이 짝수인 두 개의 짝수는 끝이 짝수입니다.

하나의 홀수를 뒤집고 두 개의 너덜너덜한 끝을 붙임으로써 두 개의 홀수도 짝수 끝을 갖게 됩니다.

그러나 하나는 홀수이고 하나는 짝수입니다. 우리가 아무리 뒤집고 회전해도 끝이 짝수는 아닙니다.

이것은 숫자가 얼마나 길든 사실일 것입니다. 왜냐하면 중요한 것은 끝이 들쭉날쭉한지 정사각형인지 여부이기 때문입니다. (번개 모양의 것들은 임의의 거리를 암시하기 위한 것입니다… 거기에 수천 개의 사각형이 있다고 상상해 보십시오.)

QED

이것은 유효한 수학적 증명입니까? 그게 그렇게 중요한 건가? 이러한 종류의 '증명'을 생각하는 데 시간을 보낸 어린이 또는 어린이 그룹은 아무리 기계적인 훈련을 해도 얻을 수 없는 수학에 대한 이해와 열정을 발전시킬 것입니다. 더 중요한 것은 "무엇을 해야 할지 모를 때 무엇을 해야 하는지"를 배우기 시작할 것입니다. 즉, 가지고 있는 문제의 단계를 따라가는 것이 아니라 이전에 본 적이 없는 문제를 해결할 수 있는 자신감입니다.