혼돈 이론

혼돈은 우리 주변 어디에나 있습니다. 프랙탈은 혼돈에서 탄생합니다. 그것들은 혼돈 속에서 형성된 패턴이자 질서이다. 프랙탈 기하학은 혼돈 이론이라는 더 넓은 주제의 일부입니다. 그렇다면 '카오스'란 무엇 이며 '카오스 이론' 이란 무엇입니까?

프랙탈은 ' 카오스 이론 ' 이라는 더 큰 이론에서 탄생합니다 . 그래서, 이 카오스 이론은 무엇입니까? 알아보기 위해 작은 게임을 해보자…

[유튜브 채널 Numberphile에서 처음 이 게임에 대한 카오스 이론 설명을 보고 굉장히 끌렸습니다. 그래서 제 이해를 바탕으로 최대한 반복해서 설명드리도록 하겠습니다.]

이 게임을 카오스 게임이라고 부르자. 그렇다면 플레이하려면 무엇이 필요할까요? 빈 종이 한 장, 쓸 것, 굴리는 주사위만 있으면 됩니다.

이제 시작하겠습니다.

삼각형의 세 꼭지점과 거의 같은 세 개의 점을 종이에 표시하는 것으로 시작하겠습니다. 점 A, B 및 C의 이름을 지정합니다. 다른 점을 시작점으로 그립니다. 이제 주사위를 굴려 1이나 2가 나오면 시작점과 A 사이에 점을 찍고, 3이나 4가 나오면 시작점과 B 사이에 점을 찍고 그렇지 않으면 a를 찍는다. 시작점과 C 사이에 점, 즉 5 또는 6이 나오는 경우.

2가 나오면 시작점과 A 사이에 점을 표시합니다.

그런 다음 주사위를 다시 굴립니다. 2가 다시 나온다고 가정합니다. 그런 다음 이전에 놓은 점과 A 사이에 점을 표시합니다. 그런 다음 프로세스를 반복합니다.

약간의 시도 후에 4를 얻었다고 가정하고 이전에 표시한 지점과 B 사이의 지점을 표시합니다.

당신은 아이디어를 얻을, 권리?

그러나 언젠가는 이 작업을 수행하면 시트에서 임의의 혼란스러운 점만 볼 수 있습니다. 하지만 이러한 임의의 점이 예상치 못한 결과로 이어지면 어떻게 될까요? 일부 결과를 보려면 컴퓨터에 이렇게 하도록 요청할 수 있습니다. 이것이 가능한 많은 웹 사이트가 있습니다. 나는 그들 중 하나를 시도했다. (직접 시도하려면 여기를 클릭하십시오 ). 거기에서 포인트 수를 3으로 설정하고 시작을 클릭하고 속도를 '빠르게'로 설정했습니다. 시작점 또는 여기에서 추적점이라고 하는 지점이 움직이기 시작하여 지점을 표시했습니다. 약 5분을 기다린 후, 내가 알아차린 것은 다음과 같습니다.

바로 시에르핀스키 삼각지대 입니다! 임의의 점과 혼돈은 우리를 그러한 질서와 대칭 패턴으로 이끈다. 이것은 카오스 이론의 일부입니다. 혼돈 이론은 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다.

“ 초기 조건에 매우 민감한 동적 시스템의 동작에 초점을 맞춘 수학의 한 분야. ”

따라서 이 경우의 초기 조건은 우리가 시작한 세 개의 점과 점을 표시하는 규칙이었습니다. 3개가 아닌 5개의 점으로 시작하면 다른 패턴이 나타납니다. 카오스 이론에서 명백한 임의성은 다양한 패턴, 프랙탈, 대칭 등으로 이어집니다. Barnsley fern은 또한 카오스 게임을 통해 생성될 수 있습니다.

(직접 시도하려면 여기를 클릭하십시오 ).

놀랍게도 카오스 이론의 개념은 수학자에 의해 처음 발견된 것이 아니라 Edward Norton Lorenz 라는 기상학자에 의해 발견되었습니다 . 그는 기상학자의 옷을 입은 수학자였습니다. 그것은 모두 매우 유명해지고 책과 영화에서 사용된 개념에서 시작되었습니다. 이것이 나비 효과 입니다.

나비 효과는 기본적으로 나비의 날개짓이 몇 주 후에 지구 반대편에 토네이도를 일으킬 수 있다고 말합니다. 불가능해 보이지 않나요? 특히 초기 조건에 대한 동적 시스템의 민감도입니다. 나비 효과는 근사치로만 발견된 개념이었습니다.

Weathermen은 날씨에 대해 근사치를 만들고 그것에 대해 유쾌하게 부정확한 것으로 알려져 있지만 전적으로 그들의 잘못은 아닙니다. 바로 나비효과 때문입니다.

Edward Lorenz는 일기 예보 부서에서 일했습니다. 그는 그곳의 예측가 중 한 명이었습니다. 그는 처음에 소수점 이하 6자리 정도의 예측과 관련된 몇 가지 값을 발견했습니다. 이것을 그의 컴퓨터에 공급하면 특정 그래프가 나타납니다. 그런 다음 그는 동일한 값을 다시 입력했습니다. 이번에만 값을 반올림하여 소수점 이하 3자리까지 근사화했습니다. 처음에는 그래프가 동일했습니다. 그러나 얼마 후 두 번째 그래프는 첫 번째 그래프와 너무 많은 차이와 변동이 있어 예측이 완전히 바뀌었습니다. 값의 약 0.001 차이만으로도 그래프에 많은 변화가 발생했습니다. 이것이 바로 나비효과입니다. 이것은 혼돈 이론의 전체 아이디어가 탄생한 곳입니다.

프랙탈은 이 혼돈 이론의 일부입니다. 카오스 이론은 Edward Lorenz에 의해 다음과 같이 요약되었습니다.

“ 카오스: 현재가 미래를 결정하지만, 대략적인 현재가 미래를 대략적으로 결정하지는 않는다. ”