2 perguntas sobre o anel$\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Não consigo resolver esta questão em particular na Teoria do Anel. Isso foi perguntado em um exame de mestrado para o qual estou me preparando.
Deixar$A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$.
(a) Prove que$A$é o produto direto de dois domínios inteiros.
(b) O anel é$A$isomorfo a$\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
eu posso saber por$X^{3}-1$que agora os elementos seriam$ax^2+bx+c$,$a,b,c$pertencendo à$\mathbb{Q}$. Mas não tenho ideia de produtos diretos de qual domínio integral fará esse anel.
Também para o 2º estou tendo problemas em definir um mapa como$X^3$atuará como -1 no 2º toque. Eu não acho que o mapa gosta$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$funcionaria porque este mapa não é$1-1$.
Então, alguém pode me dizer como devo abordar esses dois problemas.
Respostas
DICA :
(a) Use o Teorema Chinês do Resto , que diz que para um anel$A$e ideais$\mathfrak a,\mathfrak b$do$A$de tal modo que$\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$,$A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Além disso, um anel quociente$\mathbb Q[X]/(f(X))$é um domínio inteiro se$(f(X))$é um ideal primo se$f(X)$é irredutível (pois$\mathbb Q[X]$é um PID).
(b) eu reivindico$\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$é um isomorfismo. Verifique todos os axiomas.
(a) Como Kenta S afirmou, uma vez que$1=(x^2-x+1)+x(x-1)$e$(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, temos$\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$e entao$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$pelo Teorema Chinês do Resto. Claramente,$x^2-x+1$e$x-1$são irredutíveis. Por isso,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$e$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$são domínios.
(b) Claramente,$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Também,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$por$x\to -x$. Por isso,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.