A conclusão de Cauchy é a maior extensão com a mesma co-completação gratuita?

Question

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Deixar $C$ ser uma categoria, e $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$ser sua co-completação gratuita. Apesar do nome, o cocompletar livre de cocompletar livre não é equivalente ao cocompletar livre em geral. Nomeadamente,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Por exemplo, pegue$C = \{*\}$. [1]

Existe uma melhor co-completação, chamada de completação de Cauchy $\bar{C}$. Se$C$ é pequeno, então temos $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

Pelo teorema 1 em [2], é melhor no sentido de que $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ tão $\bar{C}$ é na verdade uma co-completação, e também que $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ tão $\bar{C}$ fornece o que $C$precisa sem alterá-lo muito. Afinal, em muitos casos, é melhor ver$C$ como $\hat{C}$ [3].

Pergunta

É $\bar{C}$ a maior categoria entre $C$ e $\hat{C}$ cuja co-completação gratuita é $\hat{C}$? Mais precisamente, entre todas as categorias$D$ com $\hat{C} \simeq \hat{D}$ e $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ é $\bar{C}$ o universal?

Referência

• [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

• [2] Conclusão de Cauchy na teoria das categorias- [Francis Borceux e Dominique Dejean]

• [3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

Answer 1

A resposta é positiva.

Encontrei um relato publicado com detalhes nos capítulos 6 e 7 do Handbook of Categorical Algebra 1 de Francis Borceux.

Graças aos comentários, links úteis que resumem como funciona são

• equivalência morita para categorias

• Equivalência de Morita via extensão Kan

• Artigo maravilhoso de Qiaochu Yuan