A distribuição normal condicional [duplicado]

Question

Eu gostaria de encontrar a distribuição normal bivariada condicional. Existem duas variáveis ​​normais dependentes com a mesma distribuição e o coeficiente de correlação$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Eu gostaria de obter$P(X|Y>M)$.

Eu encontrei a expectativa condicional de $X$ dado que $Y$ é maior do que $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Mas qual é a variação condicional de $var(X|Y>M)$? É isso$(1-\rho^2)\sigma^2 $, como seria no caso de $var(X|Y=M)$, onde a variância não depende de $M$?

E é a distribuição condicional $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

A variação condicional depende de $M$.

Não consigo encontrar uma forma fechada para a variância condicional, mas posso encontrar uma forma fechada para a densidade. Eu descobri isso começando com a função de distribuição cumulativa condicional usando a definição de probabilidade condicional, então diferenciei para encontrar a densidade condicional.

A densidade usando o formulário de entrada do Mathematica é:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Sua fórmula para a média condicional está correta.

Eu sei que a variância condicional depende de $M$ porque eu calculei por integração numérica.