A integração por fórmula de peças $\int f'g = - \int fg'$ é válido para funções contínuas de variação limitada com suporte compacto?

Aug 19 2020

Assuma isso $f:\mathbb R \to \mathbb C$ é uma função contínua de variação limitada com suporte em $[-T,T]$. Nós sabemos isso$f$é diferenciável em quase todos os lugares. Além disso, vamos$g \in C^\infty(\mathbb R)$ser limitado. A integração por fórmula de peças$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ são verdadeiras?

Respostas

4 Rigel Aug 19 2020 at 09:57

Deixei $T > 1$ e deixar $f = \chi_{[0,1]}$ ser a função característica de $[0,1]$. Então$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ Por outro lado, desde $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

Se entendermos $f'$ como o derivado com valor de medida $Df$ de uma função BV, então $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, e $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ que coincide com $-\int_{-T}^T f g'$.