A proporção da área de dois polígonos regulares

Question

Os polígonos na figura abaixo são todos polígonos regulares (heptágono regular), compartilham um vértice e a linha laranja cruza os três vértices dos dois polígonos regulares, a área do polígono regular pequeno e do polígono regular grande é indicada como $S_1$, $S_2$, o que é $\frac{S_1}{S_2}$?

Pergunta adicional (polígono normal de nove lados)

Answer 1

Não vou fazer o cálculo, mas essa é a ideia.

Primeiro desde $\triangle ADE$ e $\triangle BDF$ são semelhantes, nós sabemos $AE$ atravessar $G$.

Agora podemos calcular $DG$,$GC$,$AG$ com base no heptágono esquerdo e desde $AD\parallel CE$ nós podemos calcular $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Também sabemos$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

Portanto $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

Se você deixar $a=DG,b=DA,c=DB$, há alguma identidade aqui

Usando a identidade, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

Nova edição: acabei de perceber $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ então $GE$ é realmente apenas $b$.

Agora, o cálculo é muito simples:

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

Portanto, a área é exatamente o dobro.

Answer 2

Solução para parte $2$ (problema adicional):

Deixei $I$ seja o ponto onde $AD$ cruze o circuncírculo $O$ do $\triangle ABC$. Conectar$IO$. Desde a$AI$ é uma bissetriz do ângulo $BI=CI$.

É fácil ver o trapézio $BDEC$ é simétrico em relação a $IO$. além disso$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ então $\angle IBD=50^{\circ}$.

Agora deixe $\angle IDB=x$. Com o traçado de ângulo usando as informações acima, encontramos$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

E se $ID>DB=DE$, então nós temos $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ e $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ então $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ o que é impossível.

E se $ID<DB=DE$, então nós temos $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ e $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ então $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ o que é impossível.

Portanto $ID=DB=DE$ e $\triangle IDE$ é equilátero, portanto $\angle IDE=60^{\circ}$ e $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Portanto$BD \perp AC$.

($N$ é apenas $C$ remarcado)

O restante é simples uma vez $BD\perp AC$. Podemos encontrar$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

Desde a $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ e a proporção da área é exatamente $3$.