Abordando a física usando análise comum em vez de análise não padrão

Aug 16 2020

Tanto quanto eu sei, na física, o cálculo é abordado usando análises não padronizadas em que $dx$, $dy$, etc. (infinitesimais) são tratados como quantidades fixas extremamente pequenas, em vez da abordagem de análise padrão usando limites em que são tratados como algo que se aproxima $0$.

Eu entendo que a abordagem fora do padrão é muito intuitiva e fácil de entender. Na verdade, eu estava fazendo cálculo por meio da abordagem não padronizada até alguns dias atrás, quando me deparei com as questões filosóficas relacionadas aos infinitesimais. Fiquei extremamente confuso com essa abordagem e quando abordei o cálculo usando limites, senti que havia ganhado um novo nível de compreensão e clareza conceitual.

Agora, em física, para uma função $f$, $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$ é interpretado como a taxa de mudança de $f(x)$ com uma pequena mudança em $x$, ie $dx$. Também é interpretado como aproximadamente a inclinação da tangente à curva de$f$ em $(x,f(x))$. Esta abordagem e intuição geométrica também é usada para derivar o teorema fundamental do cálculo que afirma que se$F(a)$ dá a área sob a curva de $f(x)$ de $x = 0$ para $x = a$, ie $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Então, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ Onde : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ A abordagem não padronizada também é usada para derivar certas fórmulas como a de trabalho, que é derivada da seguinte forma:

Para um deslocamento infinitesimal $dx$, o trabalho infinitesimal realizado, ou seja, $dW$ é $F_2(x)\cdot dx$
A quantidade total de trabalho realizado, ou seja, $W$, é $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Nota: aqui, $F_2(x)$ denota a força experimentada pela partícula na posição $(x)$. Por exemplo, se estamos falando sobre força eletrostática,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)

Então, basicamente, a maior parte do cálculo usado na física é abordada usando infinitesimais e análises não padronizadas.

Mas, a análise padrão parece muito mais rigorosa para mim e faz muito mais sentido. Eu perguntei a alguns amigos que perguntaram a seus professores como alguém pode usar a análise padrão em física em vez da análise não padrão, mas nenhum dos professores pareceu se importar.

Portanto, gostaria de saber como posso abordar a física por meio da análise padrão.

PS: Eu estou atualmente em 10 ^º grau e ter coberto apenas o básico de 11 ^º grau ainda. Uma resposta que posso compreender sem muito conhecimento sobre matemática avançada seria apreciada.

Edit: Estou muito grato pelas duas respostas que já recebi. Eu imprudentemente assumi que a análise não padronizada e o uso heurístico de infinitesimais são a mesma coisa, o que não é o caso, como apontado pelos usuários Qmechanic e PM 2Ring . Gostaria de esclarecer que sempre que usei o termo 'análise não padronizada', na verdade estava me referindo ao tratamento de$dy$, $dx$, etc. como reais, números muito pequenos e de $\dfrac{dy}{dx}$ como proporção ...

Respostas

14 ACuriousMind Aug 16 2020 at 01:40

Então, basicamente, a maior parte do Cálculo usado na Física é abordada usando infinitesimais e análises não padronizadas.

Essa premissa não é verdadeira. Enquanto os argumentos da física sobre infinitesimais podem se assemelhar a argumentos típicos em "análises não padronizadas", a física elementar geralmente não opera em níveis de rigor onde você pode decidir claramente se está usando uma análise fora do padrão ou não. A física não está interessada em questões fundamentais de análise e, por exemplo, a derivada de uma função é uma aproximação de sua inclinação, independentemente da base que você está usando (pode ser mais ou menos trabalhoso derivar isso dependendo de sua base, mas ainda assim sempre verdade).

Se você está procurando por rigor, muitas vezes há uma interpretação igualmente válida de "infinitesimais" físicos em termos de formas diferenciais padrão , por exemplo$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ é simplesmente a definição de um formulário 1 chamado $\mathrm{d}W$, cuja integral sobre caminhos $\gamma$ é definido para ser o trabalho $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ pelo caminho.

3 user272406 Aug 16 2020 at 01:39

Não há diferença de rigor entre NSA e análise padrão. (Em termos de teoria do modelo, eles são equiconsistentes.) No entanto, a maior parte do cálculo infinitesimal que você vê em artigos e livros de física precisaria ser retrabalhado ou ligeiramente elaborado para se tornar NSA.