Aplicar os coeficientes de uma linha do triângulo de Pascal às entradas adjacentes de uma linha posterior sempre resulta em uma entrada no triângulo?

Question

Gostaria de saber como provar que, em geral, se eu pegar qualquer linha do triângulo de Pascal e aplicar todos os coeficientes dessa linha às entradas adjacentes de uma linha posterior, você obterá uma entrada no triângulo de Pascal.

Por exemplo, pode-se mostrar que se você aplicar os coeficientes $1,2,1$na segunda linha para qualquer linha posterior, você obtém uma entrada no triângulo de Pascal. Mais formalmente,$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ Da mesma forma, mostrar que a aplicação dos coeficientes da terceira linha às linhas posteriores resulta em uma entrada no triângulo de Pascal envolveria mostrar que $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$

Eu sei mostrar $(1)$ usando a definição de escolha: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$e apenas expandindo todos os termos e simplificando. Mas se fosse para mostrar o caso geral, talvez algum tipo de indução fosse necessária?

Por exemplo, talvez isso seja equivalente a mostrar que $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ para $j\geq 1$. O caso básico é apenas a identidade de Pascal, e conheço uma prova combinatória e também uma prova algébrica para isso. Assuma a hipótese indutiva. Precisamos mostrar que$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ No entanto, não consigo encontrar uma boa relação entre esta etapa e a hipótese indutiva.

Isso é, de certa forma, uma generalização da Identidade de Pascal.

Answer 1

sim, funciona. Veja como fazer a indução, ilustrado ...

$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$