Aproximando uma soma dupla por uma integral dupla
Em relação a esta questão , estou interessado em delimitar a partir de cima a seguinte soma$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ que espero fazer relacionando-o com o integral $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
As respostas às perguntas anteriores confirmaram minha expectativa de que $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$, a intuição para a qual é provável que a função se comporte aproximadamente como uma gaussiana em torno de seu máximo em $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, onde a função assume o valor $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
No entanto, não consegui mostrar que a diferença $|I-S|$é significativamente menor do que esse limite. Para integrais unidimensionais simples, por exemplo com um máximo único, não é muito difícil limitar essa diferença em termos do máximo considerando somas telescópicas apropriadas. No entanto, um análogo ingênuo desse argumento não parece funcionar em duas dimensões, e tentar aplicar esse argumento a cada "fatia" da integral levou a alguns cálculos horrendos. Também procurei usar a fórmula de Euler-Maclaurin, mas está um pouco fora da minha área de especialização.
Eu suspeito que deveria haver uma maneira relativamente padrão de aproximar $|I-S|$, e também não ficaria surpreso se alguém mais proficiente em computação pudesse obter um CAS para fornecer uma prova. O primeiro seria mais útil, apenas para que eu tenha uma ferramenta para abordar questões semelhantes.
Então, muito explicitamente, gostaria de saber se $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$onde mesmo big-O seria suficiente para a aplicação que tenho em mente, e eu não ficaria surpreso se a diferença fosse limitada por um múltiplo do máximo da função. Estou interessado nos assintóticos para$i$ e $j$ tendendo ao infinito, $m$ pode ser fixo ou também uma função de $i$ e $j$. Para a aplicação que tenho em mente, provavelmente seria suficiente ter esse resultado para$i = (1+o(1))j$ e $m = o(i)$.
Respostas
Não posso fornecer uma resposta real, mas apenas algumas considerações e sugestões que podem ser úteis.
A função $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ ter um formato de sino (cortado) no primeiro quadrante significa que ele é côncavo em torno do máximo e convexo mais longe dele.
Isso torna muito difícil relacionar a integral à soma de Riemann com um $>, <$, porque o sinal da desigualdade muda nas duas áreas.
Além disso, ao aumentar $i, \, j$, enquanto a posição do movimento máximo $\approx \sqrt{i}$, e assim aproximadamente a sua propagação aumenta o pico do sino $\approx i^{m/2}$.
Desde o$\Delta x , \, \Delta y$ da soma são fixados em $1$, Duvido que a soma possa convergir para a integral.
Com relação à integral, eu tentaria a seguinte abordagem $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ então também considere que $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ podemos mudar as variáveis novamente $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ e então prossiga com a aproximação ou expansão em série da Função de Erro.