As provas de leis de limite e regras derivadas parecem supor tacitamente que o limite existe em primeiro lugar.
Digamos que eu estava tentando encontrar a derivada de$x^2$usando a diferenciação dos primeiros princípios. O argumento usual seria algo assim:
Se$f(x)=x^2$, então\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Como$h$abordagens$0$,$2x+h$abordagens$2x$, assim$f'(x)=2x$.
Ao longo deste argumento, assumi que$$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$era realmente um objeto significativo - que o limite realmente existia. Eu realmente não entendo o que justifica essa suposição. Para mim, às vezes a suposição de que um objeto é bem definido pode levar você a tirar conclusões incorretas. Por exemplo, supondo que$\log(0)$faz algum sentido, podemos concluir que$$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$Então a suposição de que$\log(0)$representava algo significativo nos levou a concluir incorretamente que era igual a$0$. Muitas vezes, para provar que um limite existe, nós o manipulamos até que possamos escrevê-lo de uma forma familiar. Isso pode ser visto nas provas da regra da cadeia e da regra do produto. Mas muitas vezes parece que essa manipulação só pode ser justificada se soubermos que o limite existe em primeiro lugar! Então, o que realmente está acontecendo aqui?
Para outro exemplo, a regra da cadeia é frequentemente declarada como:
Suponha que$g$é diferenciável em$x$, e$f$é diferenciável em$g(x)$. Então,$(f \circ g)$é diferenciável em$x$, e$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
Se a prova de que$(f \circ g)$é diferenciável em$x$simplesmente equivale a calcular a derivada usando a definição de limite, então novamente me sinto insatisfeito. Este cálculo não faz novamente a suposição de que$(f \circ g)'(x)$faz sentido em primeiro lugar?
Respostas
Proposição : Deixe$c \in \mathbb{R}$. Suponha$f$e$g$são definidos e iguais entre si em alguma bola aberta perfurada$(c - \delta) \cup (c + \delta)$do$c$, Onde$\delta > 0$. Então$\lim_{x \to c} f(x)$existe se e somente se$\lim_{x \to c} g(x)$existe. E se um dos limites existe, o outro também existe, e ambos são iguais.
Esboço da prova : Observe que a definição de limite em um ponto$c$preocupa-se apenas com pontos próximos$c$mas não igual a$c$. Então, qualquer que seja o valor de$f$ou$g$no$c$, ou se eles estão ou não definidos lá, não importa. Desde$f$e$g$são iguais em pontos próximos$c$mas não igual a$c$, nossa declaração de limite sobre qualquer função em$c$deve, portanto, valer também para o outro.$\square$
Isso justifica os vários cálculos de limite que costumamos fazer, como o que você mostrou. Na verdade, vamos ver seu exemplo passo a passo.
Se$f(x)=x^2$, então\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Como$h$abordagens$0$,$2x+h$abordagens$2x$, assim$f'(x)=2x$.
O que essas sequências de cálculos realmente significam ou implicam? Bem, na etapa/igualdade final, calculamos$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, que concordamos que existe e é igual a$2x$. Já que a função$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$é igual a$2x + h$em algum bairro perfurado de$0$, podemos agora usar a proposição para concluir que$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$é igual a$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, que equivale$2x$. Então, ir da linha (3) para a linha (2) é justificado. A seguir, a função$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$é igual a$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$em algum bairro perfurado de$0$, então novamente podemos usar a proposição para justificar a passagem da linha (2) para a linha (1).
Então, nós meio que raciocinamos para trás, mas na prática isso não é necessário em cálculos de limites comuns. Nosso raciocínio também "funciona" mesmo quando o limite não existe. Se no final chegamos a um limite que existe, então necessariamente podemos trabalhar para trás e garantir que o primeiro limite inicial existe; e se no final chegamos a um limite que não existe, então necessariamente o primeiro limite inicial não pode existir, caso contrário poderíamos descer a série de equivalências garantidas pela proposição para garantir que o limite final existe.
Então, em todos os casos, as coisas "funcionam bem". O importante a notar é simplesmente que temos certas equivalências lógicas em cada passo: o limite existe em algum passo se e somente se existir em qualquer passo anterior ou posterior.
Você está certo de que realmente não faz sentido escrever$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$a menos que já saibamos que o limite existe, mas é realmente apenas um problema de gramática. Para ser preciso, você poderia primeiro dizer que o quociente de diferença pode ser reescrito$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, e então use o fato de que$\lim\limits_{h\to 0}x=x$e$\lim\limits_{h\to 0}h=0$bem como a lei constante-múltipla e a lei da soma para limites.
Adicionando à última frase: a maioria das propriedades familiares dos limites são escritas "para trás" assim. Ou seja, a "lei da soma limite" diz$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ tão longo quanto$\lim\limits_{x\to c}f(x)$e$\lim\limits_{x\to c}g(x)$existe . Claro, se eles não existem, então a equação que acabamos de escrever não tem sentido, então realmente devemos começar com essa afirmação.
Na prática, geralmente pode-se ser um pouco casual aqui, se não por outro motivo, a não ser para economizar a contagem de palavras. Em uma aula de análise introdutória, no entanto, você provavelmente gostaria de ser o mais cuidadoso possível.
As outras respostas estão perfeitamente bem; apenas uma perspectiva que pode salvar seu dia em situações em que a existência do limite é, na verdade, um ponto crítico.
A definição crucial é a de limsup e liminf: estes são sempre bem definidos, e tudo o que você precisa saber no momento são as duas propriedades a seguir:
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- O limite de$f$existe se e somente se$\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, e neste caso o limite concorda com este valor.
Agora imagine que você faça seu cálculo duas vezes: primeiro, você calcula o liminf; então você calcula o limsup. Em ambos os cálculos, assim que você chega a algo que realmente tem limite (como$2x+h$), por causa da propriedade (2) você pode esquecer a história inf/sup e apenas calcular o limite.
Como com algumas manipulações você chega a algo que realmente tem limite, ambos os cálculos darão o mesmo resultado e, por causa da propriedade (2) novamente, o limite existe e coincide com o valor que você acabou de calcular.
Agora, isso não é realmente o que você deve fazer se estiver fazendo uma análise introdutória e não conhece liminf e limsup: as propriedades formais desses dois são ligeiramente diferentes das propriedades formais de lim, e você pode acabar com um erro. Mas contanto que você não "toque" no limite, e você apenas faça alguma manipulação dentro do limite, o mesmo argumento continuará: se você terminar com um resultado bem definido, é o limite :)
O que temos aqui deve realmente ser interpretado como várias declarações:
(1.) Se$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $existe então$ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$existe e é igual a$\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) Se$ \lim_{h \to 0} [2x + h] $existe então$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$existe e é igual a$\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) Se$ \lim_{h \to 0} 2x$existe então$ \lim_{h \to 0} [2x + h]$existe e é igual a$ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.)$ \lim_{h \to 0} 2x$existe e é igual a$ 2x $.
Observe que uma vez que temos (4.) a parte "se" (condicional) de (3.) é satisfeita e assim por diante até (1.). Você pode ver que assumir que o limite existe nas declarações de 1 a 3 não é um problema porque você não usou essa suposição para provar que realmente existe. Isso seria lógica circular e não é bom.
Seu exemplo de log é diferente disso porque você não tem uma instrução que assuma o papel da instrução (4.) acima, o que permitiria que você escapasse da condicional. Você só provou que$\log(0) = 0$E SE$\log(0)$existe, isso não$\log(0)$existe! Isso em si não é uma conclusão incorreta.
Se você quiser ser mais preciso, pode escrever:
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$se o limite existe
$= \lim_{h→0} (2x+h)$se o limite existe
$= 2x$.
O que significa que cada linha só é válida "se o limite existir". Mas não precisamos realmente nos preocupar em fazê-lo na maioria dos casos por dois motivos:
Geralmente é fácil adicionar mentalmente tais condições e verificar se não confiamos em nenhum ponto na existência do limite.
Se permitirmos que as expressões atinjam um "valor indefinido" e definimos que toda expressão com uma subexpressão "indefinida" é indefinida, então nem precisamos escrever a condição "se o limite existir"! Se o limite não for definido, então o "$\lim \cdots$" expressão teria simplesmente o valor "indefinido", o que não levará a conclusões incorretas.
A derivada não existe a menos que o limite do quociente de diferença exista.
A "lei do limite" que diz que o limite de uma soma de duas funções é igual à soma de dois limites separados não é aplicável a menos que existam dois limites separados. Notar que
Não há casos em que os dois limites separados existam e o limite da soma não. Se os dois limites separados existem, então também existe o limite da soma.
No entanto, há casos em que os dois limites separados não existem e o limite da soma existe. Uma situação semelhante aplicada a produtos e não a somas surgiu em algo que postei aqui recentemente (não consigo encontrá-lo agora). Para um dos dois fatores o limite não existia, mas a função era limitada e, portanto, o limite do produto podia ser encontrado por compressão.
A questão desaparece em grande parte se considerarmos apenas$\lim$e$\log$explicitamente como funções parciais . Uma função parcial pode ser vista como uma função cujo contradomínio contém um elemento extra ( distinguível! ), basicamente o “valor de erro”.$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$onde temos por exemplo$$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
Agora, a lei do logaritmo$$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$deve ser entendido com um “levantado”$+$operador, que apenas passa a falha em ambos os lados. Mas isso significa que para este operador, não podemos inferir de$p+q=p$aquele$q=0$, Porque$\text{ERR}+q$é sempre $\text{ERR}$sem considerar! Em vez disso, apenas de$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$podemos inferir$q = \text{OK}(0)$. Assim, não chegamos à conclusão errada sobre$\log(0)$, porque não é um$\text{OK}$valor.
Aplicado aos limites na diferenciação, podemos escrever imediatamente$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$apenas observando que o resultado pode ser$\text{ERR}$. O que também podemos fazer sem problemas é reescrever a expressão dentro do limite com qualquer coisa que – como uma função$h\mapsto\ldots$– realmente é ( extensionalmente ) o mesmo. Isto não é particularmente problema para$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$Porque$h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$e$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$realmente são os mesmos para todos$h\in\mathbb{R}$. Ainda assim, neste ponto, não sabemos se algum dos limites realmente existe - eles podem ser ambos$\text{ERR}$, ou ambos$\text{OK}$, mas de qualquer forma igual.
Para o próximo passo precisamos do fato de que o limite considera seu argumento apenas como uma função com números diferentes de zero como domínio, pois somente considerada como uma função naquele domínio é$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$a mesma função que$h\mapsto 2\cdot x+h$.
E é isso, neste ponto podemos ler que o limite é de fato$\text{OK}(2\cdot x)$e voltando, vemos que os outros limites também devem ter sido$\text{OK}$com esse mesmo valor.
Observe que$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$é indefinido em$h=0$e que, quando$h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
No entanto, a função$:x \mapsto 2x+h$é definido, contínuo e tem um valor de$2x$no$h=0$.
Também precisamos usar
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
O resto segue.
Nenhuma propriedade do limite foi usada no primeiro argumento antes do último passo, então na verdade o que fizemos dentro do limite é apenas reescrever e quando chegamos ao último passo podemos mostrar a existência usando a definição epsilon-delta que aparentemente lida com o problema de existência , a mesma coisa se aplica à regra da cadeia, já que tudo na prova antes das últimas etapas é apenas reescrever e as etapas finais que usam as propriedades de limites que se justificam, pois a definição do delta epsilon lida com a questão da existência, espero que isso ajuda
Se quisermos ser absolutamente claros, então o argumento para a derivada deve ser o seguinte:$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$e$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ambos existem e são iguais se e somente se pelo menos um deles existe. Desde$\lim\limits_{h\to0}2x+h$de fato existe e é$2x$, assim também deve o outro limite (que é$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) existem e são$2x$.
Isso não funciona para o seu exemplo de logaritmo: você pode argumentar que$\log0$e$\log0+\log0$existem e são os mesmos se pelo menos um dos dois existir. Mas nem existe, então o ponto é discutível.