Cada função holomórfica em uma variedade complexa compacta é localmente constante？

Question

Nós sabemos que se $X$ é uma variedade complexa conectada compacta, então cada função holomórfica em $X$é constante. Agora, suponho que$X$não é necessariamente conectar, então podemos escolher um componente conectado. Sabemos que o componente conectado é um subconjunto fechado e cada subconjunto fechado de um conjunto compacto também é compacto. Portanto, o componente conectado também é compacto, então podemos deduzir que toda função holomórfica no componente conectado é constante. Então, podemos deduzir que toda função holomórfica em$X$ é localmente constante.

Acho que isso pode não estar certo, mas não consigo encontrar onde está o problema em minha prova acima.

Answer 1

Isto está certo. No entanto, quando as pessoas dizem "manifold compacto", quase sempre se referem ao manifold compacto conectado. Em vez disso, geralmente não há nada a ganhar lidando com variedades compactas não conectadas, uma vez que podemos também olhar para cada componente conectado.

(Para variedades não compactas, isso é potencialmente mais complicado, porque temos coisas como $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ que é uma união disjunta de duas variedades, mas são uma espécie de "toque" e, em certo sentido, inerentemente diferentes de $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, por exemplo.)