Calcule este limite sem a regra de L'Hôpital.

Question

Calcular $$\lim_{x\to0}\frac{(x+32)^{1/5}-2}{x}$$ sem a regra de L'Hôpital.

Minha tentativa: primeiro racionalizei a expressão para obter $$\left(\frac{(x+32)^{1/5}-2}{x}\right)\left(\frac{(x+32)^{1/5}+2}{(x+32)^{1/5}+2}\right)=\frac{x+28}{x((x+32)^{1/5}+2)}$$ Como devo me livrar do singular $x$no denominador agora? Devo fatorar algo aqui?

Answer 1

Deixei $y=(x+32)^{1/5}$. Você pode escrever o limite como$\lim_{y \to 2} \frac {y-2} {y^{5}-2^{5}}$. É fácil escrever esse limite usando a fórmula$y^{5}-2^{5}=(y-2)(y^{4}+2y^{3}+2^{2}y^{2}+2^{3}y+2^{4})$

Answer 2

Considere a função $f(x) = (x+32)^{1/5}$. Por definição,$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{1/5} - 2}{x}$.

Pelas regras de poder e cadeia de diferenciação, você pode mostrar que $f'(x) = \dfrac{1}{5}(x+32)^{-4/5}$ Onde $x \neq -32$.

Portanto, $\lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{1/5} - 2}{x} = f'(0) = \dfrac{1}{80}$.

Answer 3

Dica

Fazer $x+32=y^5$ temos

$$ \lim_{y\to 2}\frac{y-2}{y^5-32} $$

Answer 4

$$L=lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{\frac{1}{5}}-2}{x}$$

$$L=lim_{x \to 0} \dfrac{(x+32)^{\frac{1}{5}}-32^{\frac{1}{5}}}{(x+32) -32}$$

Portanto,

$$L=\frac{1}{5} \cdot 32^{\frac{-4}{5}}=\frac{1}{5 \cdot 2^4}$$

Answer 5

Se você quiser uma prova detalhada:

$\dfrac{(2^{5}(\frac{x}{32}+1))^{\frac{1}{5}}-2}{x}=\dfrac{2(\frac{x}{32}+1)^\frac{1}{5}-2}{x}$

$(1+x)^n=1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot x^2.....$

$\lim_{x\to0}=\dfrac{2\bigg(1+\frac{1}{5}\frac{x}{32}+\dfrac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)}{2}\cdot\bigg(\frac{x}{32}\bigg)^2.....\bigg)-2}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{2x}{5\cdot32}+...}{x}=\dfrac{2}{5\cdot 32}$

Answer 6

Deixei $\sqrt[5]{x+32}-2=y\implies x+32=(2+y)^5$ e $x\to0\implies y\to0$ encontrar

$$\lim_{x\to0}\frac{(x+32)^{0.2}-2}{x}$$

$$=\lim_{y\to0}\dfrac y{(2+y)^5-32}$$

$$=\lim_{y\to0}\dfrac y{\binom51y\cdot2^4+\binom52y^2\cdot2^3+\binom53y^3\cdot2^2+\binom51y^4\cdot2+y^5}$$ $$=?$$