Campos de Dirac: os operadores de criação de partículas e antipartículas agem de maneira diferente no vácuo?

Dec 22 2020

Dado um campo Dirac $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ com os operadores de criação $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ para partículas e antipartículas respectivamente, como esses operadores atuam no vácuo?

Em particular, é verdade que $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?

Respostas

4 Eletie Dec 22 2020 at 20:16

Ah, acho que entendi sua pergunta agora e acho que isso é uma questão de notação simples. Os estados de uma única partícula para as partículas e antipartículas devem ser denotados de forma diferente, ou seja, tentar estar o mais próximo de sua notação resultaria em algo como

$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$E todas as relações de comutação usuais são as mesmas. Talvez a notação mais padrão fosse$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ e $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $, mas não tenho certeza do que é mais comum.

3 MikhailSkopenkov Dec 22 2020 at 20:44

É não verdade que$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. Além disso, a notação$|k\rangle $é ambíguo. Existe o estado$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$contendo uma partícula com momentum$k$ e estado de rotação $s$ e o estado $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$contendo uma antipartícula com momentum$k$ e estado de rotação $s$. Veja, por exemplo, [1], Seção 5.4.

[1] GBFolland, Quantum field theory. Um guia turístico para matemáticos, Math.Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.

1 Buzz Dec 22 2020 at 17:37

O operador $a$é um operador de aniquilação de partículas , enquanto$b^{\dagger}$é um operador de criação de antipartículas. Atuando no vácuo,$a_{s}(k)|0\rangle=0$, mas $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. De fato,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ é um estado de antifermion de uma partícula (que não é o mesmo que um estado de fermion de uma partícula).

A semelhança entre $a$ e $b^{\dagger}$não é que cada um deles crie uma partícula. Em vez disso, cada um deles pode diminuir o número de férmions em$1$. (O número de férmions é o número de férmions presentes, menos o número de antifermions - portanto, zero no vácuo.) Agindo em um estado de férmions de uma partícula$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$, aniquilando um férmion com impulso $k$ e girar $s$. O campo conjugado$\Psi^{\dagger}$ (ou $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) envolve $a^{\dagger}$, que cria um férmion, e $b$, que aniquila uma antifermion. Portanto,$\Psi^{\dagger}$ aumentará o número do férmion em $1$.