Categoria com zero morfismos implica zero objeto?

Question

Deixar$\mathscr{A}$ser uma categoria. Então dizemos que$\mathscr{A}$é uma categoria com zero morfismos se para cada$A,A'\in\mathscr{A}$existe um morfismo zero$0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, e os morfismos zero obedecem a um diagrama comutativo particular (ver wiki ). Agora suponha$\mathscr{A}$tem um objeto zero$0$. Então$\mathscr{A}$é uma categoria com zero morfismos, e todo morfismo zero fatora através do objeto zero de forma única. Então e o inverso? Se$\mathscr{A}$é uma categoria com zero morfismos, ela necessariamente tem um objeto zero? Se não, há algum contra-exemplo simples?

Answer 1

Não, uma categoria com zero morfismos não precisa ter um objeto zero. Um contra-exemplo simples é considerar um anel diferente de zero$R$considerada como uma categoria de um objeto (mesmo uma categoria de um objeto$\text{Ab}$-enriquecido/categoria pré-aditiva), ou mais geralmente um monóide com um elemento zero/elemento absorvente e pelo menos um outro elemento diferente de zero (mas anéis diferentes de zero são bons como um exemplo comum e familiar destes).

O que é verdade é que dada uma categoria com zero morfismos existe uma única maneira de juntar um objeto zero a ela se ela já não tiver um: ela tem um único morfismo de e para qualquer outro objeto, e cada composição envolvendo esses morfismos é zero. Esta construção é o adjunto esquerdo da inclusão de (categorias com zero objetos) em (categorias com zero morfismos), onde em ambos os casos os morfismos são functores que preservam zero morfismos.

Além disso, se uma categoria com zero morfismos tem um objeto inicial ou terminal, esse objeto é automaticamente um objeto zero, e um functor entre duas categorias com zero objetos que preserva zero morfismos preserva automaticamente zero objetos. Eu entro em um pouco mais de detalhes neste post do blog .