Classificação de (não necessariamente conectados) grupos de Lie compactos
Estou procurando uma classificação de grupos de Lie compactos (não necessariamente conectados). Claramente, todos esses grupos são extensões de um "grupo de componentes" finito$\pi_0(G)$ por um grupo de Lie compacto conectado $G_0$: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} A classificação de grupos de Lie conectados compactos é familiar para mim, então meu questão é como classificar essas extensões.
ATUALIZAÇÃO: Suspeito que o seguinte seja verdadeiro (devido a @LSpice, com meu requisito adicional de que $H$, $P$ são finitos):
Hipótese :$G$ sempre pode ser escrito como $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ para grupos finitos $H,P$, Onde $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.
ATUALIZAÇÃO 2: @LSpice provou isso abaixo para o requisito mais fraco que$P$ cruza $G_0$ dentro de $Z(G_0)$, e forneceu um contra-exemplo onde $P$ não pode ser considerada central.
ATUALIZAÇÃO 3: Veja classificação aprimorada de grupos compactos de Lie para uma pergunta de acompanhamento (que não escreverei aqui para evitar desordem excessiva).
Uma afirmação menos útil da minha pergunta original: qualquer $G$ pode ser construído a partir de $G_0$ em três etapas:
Pegue o produto direto de $G_0$ com um grupo finito.
Quociente o resultado por um subgrupo finito de seu centro.
Estenda um subgrupo finito de $\mathrm{Out}(G_0)$ pelo resultado.
(A etapa 3 pode sempre não ser um produto semidireto em geral.)
Respostas
$\DeclareMathOperator\U{U}$Considere as matrizes $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ e $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Eles pertencem ao grupo finito de matrizes de permutação assinada, portanto, o grupo que eles geram é finito. Colocar$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Desde a$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ e $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, o grupo $G$ gerado por $G_0$, $u$, e $v$ tem $G_0$como seu componente de identidade. Agora deixe$G_0 \rtimes H \to G$ ser qualquer capa que se restrinja à inclusão $G_0 \to G$, e deixar $\tilde u$ ser um elemento de $H$ cuja imagem está em $u G_0$; diga que a imagem é$u d(z, w)$. Então$\tilde u^2$ mapeia para $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, tão $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ encontra-se em $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Se$\tilde v$ é um elemento de $H$ cuja imagem está em $v G_0$, então $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ encontra-se em $d(1, -1) \rtimes H$, portanto, não é igual $d(-1, 1) \rtimes H$. Isso é,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ não é central em $G_0 \rtimes H$.
O que podemos fazer é encontrar (em geral, não apenas para o exemplo específico acima) um subgrupo finito $H$ de $G$ de modo que o mapa de multiplicação $G^\circ \times H \to G$ é sobrejetora, e seu núcleo centraliza $G^\circ$. (No exemplo específico acima, poderíamos pegar$H = \langle u, v\rangle$.)
$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Para provar isso, usarei algumas peças da teoria da estrutura:
- Todos os toros máximos em $G$ estão $G^\circ$-conjugado.
- Todos os subgrupos do Borel de $G_\C$ estão $G^\circ_\C$-conjugado.
- Para cada toro máximo $T$ dentro $G$, o mapa $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ é um isomorfismo.
- Se $G\scform$ e $(G_\C)\scform$ são as tampas simplesmente conectadas dos grupos derivados de $G^\circ$ e $G^\circ_\C$, então $(G\scform)_\C$ é igual a $(G_\C)\scform$.
- Cada grupo de Lie compacto tem um subgrupo finito que atende a todos os componentes .
Eu só preciso (4) para provar que, para cada toro máximo $T$ dentro $G$, o mapa de $T$ ao conjunto de elementos fixos de conjugação de $T/\Zent(G^\circ)$é sobrejetiva. Este é provavelmente um fato bem conhecido pelos teóricos de grupos reais.
Agora considere triplos $(T, B_\C, \X)$ do seguinte modo: $T$ é um toro máximo em $G$; $B_\C$ é um subgrupo Borel de $G^\circ_\C$ contendo $T_\C$, com um conjunto resultante de raízes simples $\Delta(B_\C, T_\C)$; e$\X$ é um conjunto que consiste em um raio real em cada espaço de raiz simples complexo (ou seja, o conjunto de múltiplos reais positivos de alguns$0$vetor). (Desculpe pelo par de modificadores "complexo simples".) Chamarei isso de 'fixação', embora não concorde com a terminologia usual (onde escolhemos vetores raiz individuais, não raios). Eu reivindico que$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ atua de forma simplesmente transitória no conjunto de alfinetes.
Assim que tivermos transitividade, a liberdade é clara: se $g \in G^\circ$ estabiliza algum par $(T, B_\C)$, então está em $T$, e assim estabiliza cada espaço de raiz complexo; mas então, para estabilizar alguma escolha de raios$\X$, tem que ter a propriedade que $\alpha(g)$ é positivo e real para cada raiz simples $\alpha$; mas também$\alpha(g)$ é uma norma$1$ número complexo, portanto, trivial, para cada raiz simples $\alpha$, portanto, para cada raiz $\alpha$, para que $g$ é central.
Para transitividade, uma vez que (1) todos os toros máximos em $G$ estão $G^\circ$-conjugar, então (2) para cada toro máximo $T$ dentro $G$, o grupo Weyl $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ atua transitivamente nos subgrupos do Borel de $G^\circ_\C$ contendo $T_\C$, e (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ é um isomorfismo, basta mostrar que todos os conjuntos possíveis $\X$são conjugados. Aqui está o argumento que eu inventei para mostrar que eles são iguais$T$-conjugado; Eu acho que provavelmente pode ser feito muito menos estranho. Consertar uma raiz simples$\alpha$, e dois não$0$ elementos $X_\alpha$ e $X'_\alpha$do espaço raiz correspondente. Então, há um número real positivo$r$ e uma norma$1$ número complexo $z$ de tal modo que $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Escolha uma norma$1$ número complexo $w$ de tal modo que $w^2 = z$. Existe então um elemento único$s\adform$ de $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ de tal modo que $\alpha(s\adform) = w$, e $\beta(s\adform) = 1$ para todas as raízes simples $\beta \ne \alpha$. Em (4), podemos escolher um elevador$s\scform$ de $s\adform$ para $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, que necessariamente está na pré-imagem $(T_\C)\scform$ de (a interseção com o subgrupo derivado de) $T$, e colocar $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Então$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ e, da mesma forma, $\beta(t\scform) = 1$ para todas as raízes simples $\beta \ne \alpha$. Agora a imagem$t$ de $t\scform$ dentro $G^\circ_\C$ encontra-se em $T_\C$ e é fixado por conjugação, portanto, encontra-se em $T$; e$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ encontra-se no raio através $X'_\alpha$.
Desde a $G$ também atua no conjunto de fixações, temos um mapa bem definido $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ que se restringe à projeção natural em $G^\circ$. Agora$\ker(p)$ atende a todos os componentes, mas contém $\Zent(G^\circ)$, por isso não precisa ser finito. Aplicando (5) ao grupo de Lie$\ker(p)$ produz o subgrupo desejado $H$. Observe que, conforme solicitado em sua classificação aprimorada , a conjugação por qualquer elemento de$H$ corrige um pinning, portanto, se interno, deve ser trivial.