Classificação de variedades lisas compactas de dimensão 3.

Question

Conheço a classificação de variedades suaves de dimensão compacta 2. Eles são difeomórficos para uma esfera com n "orelhas" (soma conectada de n tori) ou uma esfera com tiras m mobius (soma conectada de m planos projetivos reais). Sei apenas que a hipótese geométrica provada por Perelman diz algo sobre 3 variedades, mas não consigo encontrar uma classificação precisa semelhante à acima para variedades suaves compactas de dimensão 2. Existe uma classificação simples semelhante? SE Sim, você poderia deixar um link ou escrever um comentário?

Answer 1

Uma variedade é chamada de primo se sempre que for homeomórfica a uma soma conectada, uma das duas somas for homeomórfica a uma esfera.

Na dimensão dois, as variedades principais fechadas são $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, e $S^1\times S^1$. Pela classificação das superfícies, cada variedade bidimensional fechada é homeomórfica a uma soma conectada de variedades primos. No caso orientável, as somas conectadas são exclusivas até$S^2$ summands (você sempre pode conectar soma com $S^2$sem mudar nada). No caso não orientável, não temos mais exclusividade como$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ é homeomórfico para $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. No entanto, pode-se recuperar a singularidade (até somas esféricas) se proibir o uso de$S^1\times S^1$ summands.

Há uma história semelhante para três variedades fechadas. O teorema da decomposição primária para variedades primárias afirma que toda variedade fechada de três é homeomórfica a uma soma conectada de variedades primárias. Se for o caso orientável, as somas conectadas são exclusivas até$S^3$summands. E se$M$ não é orientável, então a singularidade não se mantém mais, no entanto, pode-se recuperar a singularidade proibindo o uso de $S^2\times S^1$ como um dos summands conectados.

A principal diferença entre as dimensões dois e três é que existem infinitas variedades de três variedades primos. No caso orientável, eles se encaixam em três categorias:

1. essas variedades cobertas por $S^3$,
2. o múltiplo $S^2\times S^1$, e
3. coletores asféricos orientáveis.

Essas categorias também podem ser caracterizadas por meio do grupo fundamental: a saber, finito, infinito cíclico e infinito não cíclico, respectivamente.

No caso não orientável, entretanto, há muitas variedades primos para admitir uma classificação; veja a resposta a esta minha pergunta .

Na dimensão quatro, não temos mais exclusividade, mesmo no caso orientável. Por exemplo,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ é homeomórfico para $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Observe a semelhança com o fato de$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ é homeomórfico para $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.