Coeficiente de $x^7y^6$ dentro $(xy+x+3y+3)^8$

Aug 17 2020

Encontre o coeficiente de $x^7y^6$ dentro $(xy+x+3y+3)^8$.

Minha solução:

Fator $(xy+x+3y+3)^8$ para dentro $(x+3)^8(y+1)^8$. Para obter um$x^7y^6$ termo, precisamos encontrar o coeficiente de $x^7$ no primeiro fator e $y^6$no segundo fator. Usando o teorema binomial, obtemos o coeficiente de$x^7$ ser estar $17496$ e $y^6$ ser estar $28$. Multiplicando os dois nos dá uma resposta de$489888.$

No entanto, isso está errado. Esta é a abordagem da chave de resposta:

$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$. Agora,$(xy)^6\cdot x$ pode ser formado escolhendo $6$ $xy$de, $1$ $x$e $1$ $3$, o que pode ser feito em $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ maneiras. $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ pode ser formado escolhendo $5$ $xy$de, $2$ $x$'areia $1$ $3y$, o que pode ser feito em $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$maneiras. Assim, o coeficiente final é$3(56+168) = 672$ maneiras.

Eu entendo completamente a abordagem deles, mas não consigo entender por que a minha não funciona. Não podemos apenas calcular o número de maneiras de obter$x^7$e $y^6$, então multiplique-os?

Curiosamente, percebi que quando você calcula o coeficiente de $x^1$ (qual é $x^{8-7}$) e $y^2$ (qual é $y^{8-6}$), você consegue $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$, que é a resposta. Eu estou$99\%$ certeza de que não é uma coincidência, mas por que esse método funciona e o outro não?

Sei que não fiz nenhum cálculo errado, porque verifiquei tudo duas vezes com o WolframAlpha; o erro deve estar no meu processo.

Desde já, obrigado!

(Pergunta do PuMaC 2017 Algebra B)

Respostas

4 AndrésAnguloG. Aug 17 2020 at 23:41

O fator para $x^7$ é $24$ e para $y^6$ é $28$, cuja multiplicação é a resposta correta. Provavelmente, você está apenas aplicando o teorema binomial incorretamente.

Como complemento, seu método está totalmente correto.