Como Agregar Fidelidades de Múltiplas Portas

Question

A fidelidade de um qubit é bem definida aqui e a fidelidade da porta como "a fidelidade média do estado de saída sobre os estados de entrada puros" ( definido aqui ).

Como alguém pode combinar as fidelidades de dois (ou mais) portões para obter uma fidelidade total combinada de portais? Como em, se um qubit é operado por duas (ou mais) portas, como podemos calcular a fidelidade esperada do qubit (em comparação com seu estado original) depois de ser operado por essas portas se tudo o que sabemos é a fidelidade da porta de cada portão?

Eu imagino que seja dedutível da definição de fidelidade qubit ... Eu não fui capaz de descobrir. Também fiz muitas pesquisas online e não consegui encontrar nada. Eu prefiro a definição na página da Wikipedia:$F(\rho, \sigma)=\left|\left\langle\psi_{\rho} \mid \psi_{\sigma}\right\rangle\right|^{2}$para comparar o estado de entrada com o estado de saída. É fácil de trabalhar. Uma solução explicada nestes termos é muito preferida.

Answer 1

Não sei se você pode calcular exatamente a fidelidade total combinada da porta, uma vez que os processos de ruído que reduzem a fidelidade de cada porta individualmente podem se compor de maneiras não triviais. No entanto, se você conhece as fidelidades de porta individuais e essas fidelidades satisfazem certas propriedades, você pode limitar a fidelidade de porta total. Esta é a "propriedade de encadeamento para fidelidade" (por exemplo, Nielsen e Chuang Seção 9.3).

Suponha que você pretenda aplicar $U_1$ para $\rho$ como a primeira porta em uma sequência, mas a operação real que você aplica é o mapa CPTP $\mathcal{E}_1(\rho)$ que é uma versão barulhenta de $U_1$. Uma maneira natural de medir o erro está na operação que você aplicou:

$$ E(U_1, \mathcal{E}_1) = \max_\rho D(U_1 \rho U_1^\dagger, \mathcal{E}_1(\rho)) $$

Onde $D(\rho, \sigma) = \arccos \sqrt{F(\rho, \sigma)}$ é uma escolha possível para $D$, mas você pode usar qualquer métrica sobre estados quânticos. Encontrando a distância máxima entre$U_1 \rho U_1^\dagger$ e $\mathcal{E}_1(\rho)$ sobre matrizes de densidade $\rho$informa o pior resultado possível que você pode obter com a implementação barulhenta do portão. Então, se você definir o erro de forma semelhante para$U_2$ e sua implementação ruidosa $\mathcal{E}_2$ então você pode garantir que

$$ E(U_2 U_1, \mathcal{E}_2 \circ \mathcal{E}_1) \leq E(U_1,\mathcal{E}_1) + E(U_2, \mathcal{E}_2 ) $$

que diz que o pior caso de erro para aplicar as duas portas não é pior do que a soma dos piores erros para aplicar as portas individualmente.

Infelizmente a fidelidade $F(\rho, \sigma) =\text{Tr}( \rho \sigma)$ que você fornece não é uma métrica adequada sobre os estados, então você não pode substituí-la na propriedade de encadeamento acima.