Como anexamos um $2$-célula?

Question

Este é um problema da topologia algébrica de Hatcher

"Calcule a homologia do espaço obtido a partir de $D^2$ excluindo primeiro os interiores de dois subdiscos separados no interior de $D^2$ e, em seguida, identificar todos os três círculos de fronteira resultantes juntos por meio de homeomorfismos, preservando as orientações no sentido horário desses círculos. "

Eu encontrei uma solução aqui https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Pela foto você pode ver que a solução usa uma estrutura CW e disse que o$2$-célula $U$ anexa à palavra $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Minha pergunta é: por que isso?

Parece mais racional para mim anexar $U$ para $abab^{-1}cac^{-1}$uma vez que queremos que todos os 3 círculos sejam no sentido horário. Posso entender vagamente o procedimento: começamos em$x$, então nós damos a volta $a$, agora nós passamos $b$ para alcançar o círculo interno a partir do externo, e então contornamos $a$ novamente, então fazemos o mesmo para $c$. Mas por que vamos no sentido anti-horário quando alcançamos o interior?

Answer 1

Pense em você sentado dentro $U$e pense em como o limite envolve. Você começa no topo$x$ em seguida, faça uma viagem no sentido horário ao redor do círculo externo ($a$), depois uma caminhada ao longo do segmento $b$ (agora você fez $ab$), em seguida, uma caminhada no sentido anti-horário ao longo do círculo interno esquerdo ($aba^{-1}$), depois volte $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) etc.

A questão é que quando você está dentro $U$as caminhadas ao longo dos círculos internos são no sentido anti-horário; oposto na direção da caminhada ao redor do círculo externo. Basta lembrar que o interior do$U$ está sempre do mesmo lado que se caminha ao longo de sua fronteira.