Como avaliar a integral dupla sobre uma superfície não fechada?

Aug 16 2020

Deixei $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ e deixar $S$ seja a superfície $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. E se$\hat{n}$ é uma unidade normal para $S$ e $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Então $\alpha=?$

Não podemos aplicar o teorema da divergência de Gauss aqui, uma vez que a superfície S não é fechada. Como proceder nessa questão então? Por favor ajude.

Respostas

3 NinadMunshi Aug 16 2020 at 10:51

Observe que o limite da superfície é a curva $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Pelo teorema de Stokes, se duas superfícies compartilham o mesmo limite, então a integral da ondulação em ambas as superfícies será idêntica. Ie

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

com ambos orientados para cima ou para baixo.

Por que isso torna a vida mais fácil? Para começar, o Jacobiano entre o$z=0$ avião e o usual $xy$ coordenadas são $1$ (o Jacobiano de qualquer coisa de si para si é $1$) e o vetor normal apenas aponta no $z$ direção, o que significa que não precisamos nem mesmo computar todo o curl, apenas o $z$ componente, que é

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Isso nos dá a seguinte igualdade

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ é uma função ímpar, então sua integral desaparecerá no disco por $x$simetria. A única integral esquerda é uma constante, o que apenas nos dá a área da superfície vezes essa constante:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

portanto $\alpha =2$