Como eram as amplitudes do$\cos$e$\sin$escolhido?
Eu não entendo porque usamos$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$na transformação abaixo. Alguém pode ajudar a explicar?
a partir de
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$
transformar para
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$
deixar$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$e$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$
Respostas
Vamos nos concentrar na parte importante, que é da forma$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$que queremos expressar como$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Uma condição necessária (e suficiente) é que$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$e portanto$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Por isso$$ A^2=a^2+b^2 $$Nós queremos$A>0$(não necessário, mas conveniente), então obtemos$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Os dois últimos requisitos podem ser preenchidos, porque$(a/A,b/A)$é um ponto do círculo unitário.
Esta é uma maneira de normalizar o vetor$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$isso é
$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$
tem comprimento igual a$1$e isso permite realizar a transformação subsequente para$\cos \phi$e$\sin \phi$.