Como fatorar este polinômio?

Question

Eu estava tentando fatorar este polinômio:

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

Existem quatro opções nesta questão:

1. ( a ) Pode ser fatorado da seguinte forma:$(x^2 + b)(x+c)$;
2. ( b ) Pode ser fatorado da seguinte forma:$(x+b)(x+c)(x+d)$, assumindo que $b \neq c \neq d$
3. ( c ) Não poderia ser fatorado.
4. ( d ) Pode ser fatorado da seguinte forma:$(x+b)^2 (x+c) $

Veja como tentei fazer isso: tentei fatorar agrupando ax, portanto obtive: $x(x^2 + x - 16) + 20$. Agora, eu coloquei o$x$ e a $20$ juntos: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. Então, tentei fatorar o segundo termo:$(x+20)(x-16)(x+1)$. Portanto, a resposta seria "b", de acordo com este algoritmo.

Concluí o teste (é uma simulação do teste de admissão que vou fazer), envio as respostas e percebi que a pergunta não está correta.

Answer 1

Como @Fernis apontou nos comentários,

Você não pode fatorar o $(x+20)$como você fez. Não há um fator comum de$(x+20)$ entre $x^2+x−16$ e $20$.

Usando o https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, você pode saber que as possíveis raízes racionais são $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Por meio de inspeção e divisão polinomial / sintética, você pode obter $(x-2)^2(x-5)$, como disse @saulspatz. Portanto, (d) é a sua resposta.

Answer 2

O mais fácil de tentar é (d), porque diz que o polinômio tem raiz dupla. Vamos procurar uma raiz da derivada e verificar se ela cancela o polinômio.

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

Agora $p(2)=0$, bingo!

Answer 3

Este é fácil de calcular. Vamos ver como.

Comece conectando $x=0,1,-1,2$ e assim por diante.

Você vai descobrir por inspeção que $x=2$é um zero do polinômio. Portanto,$(x-2)$ é o seu fator.

Agora fatorar o polinômio de tal forma que $(x-2)$ fica comum.

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$