Como mostrar a desigualdade triangular e que a bola aberta é um ideal compacto?

Question

Em um anel$F_p[[X]]$de séries formais com coeficientes no campo com$p$elementos temos uma métrica$$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$eu tenho dois problemas

1. Problema com a demonstração da desigualdade triangular . só consegui ver como fica$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$Tentei aplicar logaritmo em ambos os lados, mas sem efeitos. Também não conheço nenhuma desigualdade sensível com poderes.

2. Problema em mostrar aquela bola aberta em relação a esta métrica com o centro em$0$e qualquer raio positivo é ideal compacto em$F_p[[X]]$. Nossa bola está em uma forma ($r>0$)$K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.

Na minha opinião, devemos mostrar que

a)$K_{0,r}$não é vazio e$\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,

b) se$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$então$\gamma \alpha \in K_{0,r}$,

b) se$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$então$ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.

Infelizmente não tenho ideia de como provar isso, o que é mais como mostrar que esse ideal é compacto.

Answer 1

Na verdade, este é um espaço ultramétrico : se$g,f,h\in F_p[[X]]$, então$d$satisfaz a desigualdade triangular forte (ou ultramétrica ) :

$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$

Para distinto$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$deixar

$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$

de modo a$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.

Deixar$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$,$g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, e$h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Claramente$(1)$detém se$f=h$,$h=g$, ou$f=g$, então suponha que$f,g$, e$h$são todos distintos. Deixar$k=\delta(f,h)$e$\ell=\delta(h,g)$, e sem perda de generalidade assuma que$k\le\ell$. Então$a_n=b_n=c_n$para cada$n<k$, assim$\delta(f,g)\ge k$, e portanto

$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$

como desejado.

Nesta resposta provei que uma bola aberta em um espaço ultramétrico também é um conjunto fechado. (A notação foi retirada do PDF ao qual o OP vinculou e é um pouco estranha:$B(x,r^-)$é simplesmente a bola aberta de raio$r$centrado em$x$.) Nesta resposta mostrei que bolas abertas centradas na origem em$\Bbb Q_p$são compactos; com um pouco de trabalho você deve ser capaz de adaptá-lo a bolas em$F_p[[X]]$.

Quanto ao resto, observe que as bolas abertas centradas em$0$todos têm a seguinte forma:

$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$

Usando isso, não é difícil mostrar que$fg\in B_k$em qualquer momento$g\in B_k$: E se$g\in B_k$, tem um fator de$X^k$, e assim também$fg$. Verificar se está fechado sob adição também é simples.