Como obter o resultado correto para esta integral?

Question

Wolfram | Alpha é, até onde eu sei, o único site que dá a solução correta para este integral ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ porque derivando a função dada como resultado chegamos à função original.

Esta é a solução: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

No entanto, neste vídeo, um resultado incorreto é fornecido, embora o processo de integração pareça correto. Como acima, você sabe que o resultado está incorreto, pois derivar a função resultante não resulta na função original que queríamos integrar.

Preciso chegar ao resultado correto, mas não sei como.

Answer 1

Conforme apontado por Ninad, esta é uma solução parcial, equivalente ao processo utilizado no vídeo, que só é válida se $$\cos\frac t2$$ é positivo .

Comece com esta identidade:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Para aplicar isso ao integrando, primeiro faça a substituição $t = \sqrt x$, em seguida, aplique essa propriedade sucessivamente. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$