Como obter o seguinte limite:$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Aug 17 2020

Como obter o seguinte limite:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

Se eu deixar$x=r\cos \theta$e$y=r\sin \theta$Onde$\theta\in (0, \pi/2)$, então$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

Parece que o limite não existe.

Respostas

3 user Aug 17 2020 at 15:54

Nesses casos, geralmente uma boa estratégia é usar uma mudança de variável para tornar os expoentes iguais no denominador, de fato, deixe$x^4=u$e$y=v$então

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

e podemos concluir facilmente, por exemplo, por coordenadas polares ou assumindo dois caminhos diferentes como$u=\pm v$.

1 KaviRamaMurthy Aug 17 2020 at 15:50

Ao longo da curva$y=x^{4}$o limite é$\frac 1 2 $e junto$y=0$isso é$0$. Portanto, o limite não existe.