Como usar a função `Covariância` para calcular a covariância corretamente?

Aug 18 2020

Nota: As seguintes questões são da 23ª questão do Exame de Admissão de Matemática da Graduação Chinesa de 2005 (primeiro conjunto):

Suponha$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$é uma amostra aleatória simples da população$\mathrm{N}(0,1)$, e$\bar{X}$é a média amostral ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$),$Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$,$i=1,2, \cdots, n $.

Agora precisamos resolver os seguintes problemas:

(1) A variação$D Y_{i}$do$Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) a covariância$\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$do$Y_{1}$e$Y_{n}$.

Eu uso n = 10como um caso especial para resolver este problema:

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Mas o código acima não pode obter a covariância de Y1e Y10corretamente (a resposta de referência é$-\frac{1}{10}$). Como posso usar a função Covariancepara resolver esse problema?

Respostas

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Você deve usar uma notação que separe variáveis ​​aleatórias de suas distribuições. O código a seguir deve fornecer as variações e covariâncias desejadas:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)