Compactamente incorporado em $L^p(0,1)$ mas não é um subespaço de $C^0[0,1]$

Question

Pelo teorema de Rellich-Kondrachov, sabe-se que a incorporação $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ é compacto.

Por outro lado, pelas desigualdades de Sobolev, também se tem $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (na verdade, até $C^{0,\frac{1}{2}}$ neste caso unidimensional, usando o teorema fundamental do cálculo e alguns argumentos de Cauchy-Schwartz).

Minha pergunta é se existe algum "subespaço intermediário" no seguinte sentido.

Ou seja, existe um espaço de Hilbert $H$ que está compactamente incorporado em $L^p(0,1)$ para alguns $p\geq 1$, e que não é um subespaço de $C^0[0,1]$?

Answer 1

Sim, esses espaços de Hilbert existem e são um caso especial de espaços de Sobolev fracionários . Para$\alpha\in(0,1/2)$ temos $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ por definição, e pode-se mostrar que a função degrau que é $1$ em $(1/2,1)$ e $0$ mais está em $H^\alpha(0,1)$. Uma vez que esta função não é contínua,$H^\alpha(0,1)$ não incorpora em $C^0[0,1]$.

Veja também a prova de que a função característica de um conjunto aberto limitado está em$H^{\alpha}$ sse $\alpha < \frac{1}{2}$e A quais espaços fracionários de Sobolev pertence a função degrau? (Norma Sobolev-Slobodeckij da função de passo) para mais detalhes.

Também se sabe que $H^\alpha(0,1)$ incorpora-se compactamente em $L^2(0,1)$ para $\alpha\in (0,1/2)$. Isso segue do Teorema 7.1 neste pdf .