Compreendendo a prova de: Cada função convexa é contínua
Estou tentando entender a seguinte prova:
Teorema 2.10. E se$f$ é uma função convexa definida em um intervalo aberto $(a, b)$ então $f$ é contínuo em $(a, b)$
Prova. Suponha$f$ é convexo em $(a, b),$ e deixar $[c, d] \subseteq(a, b) .$ Escolher $c_{1}$ e $d_{1}$ de tal modo que $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ E se $x, y \in[c, d]$ com $x<y,$ temos do Lema 2.9 (ver Figura 4$)$ este $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ e $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ mostrando o conjunto $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ é limitado por $M>0 .$ Segue-se $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ e portanto $f$ é uniformemente contínuo em $[c, d] .$ Lembrando que continuidade uniforme implica continuidade, mostramos que $f$ é contínuo em $[c, d] .$ desde o intervalo $[c, d]$ foi arbitrário, $f$ é contínuo em $(a, b)$. ${}^2$ $\square$
(transcrito a partir desta captura de tela)
Minhas perguntas :
- Onde estão os valores do módulo na expressão $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ vem de onde?
- A respeito $M=0$? Acho que esse caso também deve ser abordado, embora seja trivial. Eu acho que a ideia é que se$M=0$, então $f$é constante e, portanto, contínua. Mas, como podemos mostrar isso com rigor?
Respostas
Como o autor encontrou os números $\alpha$ e $\beta$ tal que você sempre tem, quando $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$e$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$então o set$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$é limitado e, portanto, o conjunto$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$também é limitado. Então, você pode pegar alguns$M>0$ de tal modo que$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$E, já que você pegou $M>0$, não há necessidade de se preocupar com a possibilidade de que $M=0$.
- Nesta prova, usamos algo equivalente à continuidade uniforme em um conjunto limitado, ou seja, a continuidade de Lipschitz, e é também daí que vem essa expressão. Seria preciso provar que a continuidade de Lipschitz implica uma continuidade uniforme, mas isso muitas vezes é deixado de fora, pois é visto como elementar.
- Não vejo porque $M=0$ teria que ser tratada separadamente, pois qualquer função que satisfaça a desigualdade com $M=0$ iria satisfazer a desigualdade para qualquer $M$.