Computação envolvendo formas diferenciais complexas

Aug 16 2020

Estou lendo esta nota de aula sobre geometria complexa e estou preso em um cálculo (aparentemente básico) envolvendo formas diferenciais complexas. Suponha$X$ é uma superfície complexa e $\omega$ é uma forma holomórfica (1,0), ou seja $\omega$ é morto pelo operador $\overline{\partial}$. Deixei$\overline{\omega}$ser a forma conjugada (0,1) correspondente. O autor afirma que

\ begin {equation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}

Agora desde $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, o lado direito nada mais é do que $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Mas não consigo ver como o lado esquerdo pode ser escrito na mesma expressão (usando a regra usual para derivados exteriores). Qualquer visão será apreciada.

Respostas

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

The LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ é uma forma de três, enquanto o RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$é uma forma de quatro. Eles não são os mesmos.

Olhando para a nota, eles escreveram

Agora pelo Teorema de Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (Porque $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $)

Acredito que seja apenas um erro de digitação e provavelmente significa $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$