Conceituando uma solução para um problema de radiação térmica
Por favor, considere este problema de radiação térmica.
Preliminar / Plano de fundo: Um corpo preto esférico B1 , como uma estrela, está em um cenário sem outros objetos termicamente ativos nas proximidades. O espaço está a uma temperatura de 0 K. O corpo tem reações internas (nucleares, digamos) que fazem com que a temperatura de sua superfície seja 1000 K quando em estado estacionário neste ambiente . Um corpo negro esférico B2 semelhante (mesmo raio, massa, difusividade térmica) , no mesmo ambiente , tem reações nucleares que fazem com que sua temperatura superficial seja de apenas 900 K.
O problema: o corpo B1 agora é aproximado o suficiente de B2 (digamos que suas superfícies estão separadas por uma distância de 2x o raio) para fazer com que uma nova condição de estado estacionário seja estabelecida. Ignore a gravidade.
Como eu faria para calcular as novas temperaturas dos corpos depois que eles passaram a interagir termicamente? Como em, que outras informações são necessárias? É intuitivo que as temperaturas de ambos aumentariam a partir do caso em que cada um estivesse isolado porque eles passaram de interagir termicamente com um ambiente a 0 K para um ambiente em média acima de 0 K (já que o ambiente de cada um agora inclui o outro) . Suponha que as reações nucleares dentro de cada uma não sejam afetadas pela presença da outra. Tenho certeza de que mais informações são necessárias para calcular a nova temperatura de estado estacionário de cada um. Que informação seria essa? Se assumirmos uma condutividade térmica quase infinita, de modo que cada corpo esteja a uma temperatura uniforme, isso tornará o problema mais fácil. Parece claro que também precisaríamos da capacidade de aquecimento. Alguma ideia sobre quais outras variáveis são necessárias e as equações governantes para resolver?
Respostas
Assuma dois corpos negros esféricos em temperaturas $T_1$ e $T_2$ com raios constantes $r_1$ e $r_2$e condutividade térmica infinita. Os dois objetos estão inicialmente irradiando individualmente para o espaço vazio à temperatura$T_{\mathrm{inf}}=0\,\mathrm{K}$. Assumindo o estado estacionário, a geração de calor correspondente deve ser$$Q_i=4\pi r_i^2\sigma T_i^4$$ (correspondendo à geração de calor volumétrico de $3\sigma T_i^4/r_i$), Onde $\sigma$ é a constante de Stefan-Boltzmann.
Supondo que os dois objetos sejam colocados na mesma região a uma distância de centro a centro $d>>r$, cada objeto $i$ agora recebe um fluxo adicional de entrada de aproximadamente $a_{ij}\sigma T_j^4$ de um ângulo sólido de $a_{ij}=A_j/4\pi d^2=r_j^2/4 d^2$, Onde $A_j$ é a área da seção transversal do objeto $j$. O novo balanço de energia é, portanto, agora$$4\pi r_i^2\sigma T_i^{\prime 4}= 4\pi r_i^2\sigma T_i^4+ r_i^2r_j^2 \sigma T_j^{\prime 4}/d^2,$$
onde as novas temperaturas de equilíbrio $T_i^{\prime}$ e $T_j^{\prime}$ pode ser encontrado iterativamente, por exemplo.
O caso de $d$ comparável a $r$requer um fator de visão mais complexo, geralmente obtido a partir de uma tabela de valores ou um ajuste empírico, conforme discutido aqui .