Concentração da norma para sub-gaussianos

Question

Estou lendo o Teorema 3.1.1 no livro HDP de Vershynin. O teorema afirma que

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

o $\psi_2$ norma é a norma Orlicz com função Orlicz $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

Encontrei um lugar que não entendo na prova.

Toda a prova apenas mostrou que $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $é uma variável aleatória sub-gaussiana. E na última frase, o autor acaba de dizer que equivale à conclusão do teorema.

Eu gostaria de perguntar sobre a equivalência na última frase.

Eu tentei olhar para a propriedade de centralização de sub-gaussian, mas parece que $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Qualquer sugestão ou ideia é apreciada.

Answer 1

Fiz o curso HDP no qual este livro se baseou e acho que esses resultados também demoraram um pouco! Você tem que fazer um pouco de raciocínio de "sentimento circular" que não é (pelo menos para mim) imediatamente óbvio. Resumindo, há duas coisas em jogo:

1. Em primeiro lugar, a partir da prova temos a desigualdade de concentração $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ que vale para todos $t \geq 0$. Como você mencionou, isso implica que o termo de valor absoluto é sub-Gaussiano com parâmetro$K^2$. Da proposição 2.5.2, sabemos que há um equivalente (até um fator constante)$K_1=c_1K^2$ de tal modo que $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
2. A partir da definição da norma Orlicz, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$que especifica a norma como o mínimo ou mínimo positivo$t$ com $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. A partir disso, concluímos que a norma não deve ser mais do que$K_1$. Nos relacionamos$K_1$ para $K^2$ acima e o resultado segue.