Confusão na continuação analítica.
A definição de continuação analítica da função holomórfica é apresentada da seguinte forma:
Deixar$f_{1}$e$f_{2}$ser duas funções analíticas em dois domínios (aberto e conectado)$\Omega_{1}$e$\Omega_{2}$de tal modo que$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Se$f_{1}$e$f_{2}$concordar com$\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, nós dizemos$f_{2}$é a continuação analítica de$f_{1}$em$\Omega_{2}$, e vice versa.
Uma versão menor dele é que:
Se$f$é analítico em um domínio$D\subset\mathbb{C}$e$F$é analítico em um domínio maior$E\subset\mathbb{C}$de tal modo que$f=F$em$D\subset E,$então$F$é a continuação analítica de$f$em$E$.
Pelo que li, esse tipo de técnica nos permite definir uma função em um domínio menor e estendê-la analiticamente para um domínio maior. Mas não entendo por que essa definição nos permite fazer isso.
O que me confunde é que a definição só garante$f=F$no cruzamento$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, então talvez$f\neq F$em$\Omega_{2}$, então como eu sei$f$é analítico sobre$\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
Tentei usar o teorema da identidade da seguinte forma:
Deixar$f$e$g$ser duas funções holomorfas em um domínio$D$de tal modo que$f=g$em um subconjunto$S\subset D$que contém um ponto limite, então$f=g$no todo$D$.
Mas isso parece atrasado. Pela hipótese de continuação analítica, temos apenas$f=g$em$S$, e$g$é analítico sobre$D$, não sabemos realmente se$f$é analítico em geral$D$(este é o propósito da continuação analítica, certo?$f$analiticamente ao todo$D$.)
Estou pensando demais nisso e me confundindo?? Acho que deveríamos ter, digamos$f_{1}=f_{2}$no todo$\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, mas não sei como provar.
Edit 1: (Algum Esclarecimento, Possível Resposta e Referência)
Desculpe se estou fazendo uma pergunta confusa (ruim). Minha confusão é que, embora a continuação analítica exista, não acho que isso signifique nada de útil. Apenas nos dá uma função analítica$F$em um domínio maior$\Omega_{2}$de tal modo que$F|_{\Omega_{1}}=f$para$\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Mas não diz nada sobre$f$,$f$ainda está em$\Omega_{1}$. Portanto, não entendo por que a continuação analítica pode estender o domínio no qual$f$é analítico.
O livro “Complex Analysis and Applications” de Hemant Kumar Pathak, possui um capítulo sobre continuação analítica.
Como José sugeriu, não faz sentido dizer$f=F$em$\Omega_{2}$, Porque$f$está ligado$\Omega_{1}$.
O livro explica que se tivermos uma continuação analítica de$f_{1}$a partir de$\Omega_{1}$para dentro$\Omega_{2}$através da$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, então o valor agregado de$f_{1}$dentro$\Omega_{1}$e$f_{2}$dentro$\Omega_{2}$pode ser considerado como uma única função$f(z)$analítico em$D_{1}\cup D_{2}$de tal modo que$$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
Isso realmente esclarece as coisas. Isto é como o que fizemos quando queremos remover a singularidade: se$f_{1}$tem uma singularidade removível em$z_{0}$, então na verdade estendemos$f_{1}$para$f$definindo$$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
Assim, estamos na verdade estendendo$f_{1}(z)$para$f(z)$, não para$f_{2}(z)$. Nós meio que completamos$f_{1}(z)$para dentro$\Omega_{2}$definindo$f(z)$.
Espero que minha explicação possa ajudar outras pessoas que estudam análise complexa e acham a continuação analítica confusa.
Sinta-se livre para adicionar qualquer coisa mais!
Respostas
Esses teoremas não tratam de estender funções analíticas, no sentido de que não tratam da possibilidade de estender tal função. O que eles dizem é que você pode estender uma função analítica, no máximo, de uma única maneira. Então, eles são sobre exclusividade de extensões, não sobre sua existência .
Para ser mais preciso, eles dizem que se$\Omega_1$e$\Omega_2$são domínios, com$\Omega_1\subset\Omega_2$, e se$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$é uma função analítica, então existe no máximo uma função analítica$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$cuja restrição a$\Omega_1$é$f$. Mas é perfeitamente possível que não haja nenhum! É o caso se, por exemplo,$\Omega_1=D(0,1)$,$\Omega_2=\Bbb C$e$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$é definido por$f(z)=\frac1{z-2}$.