Confusão na definição dos pontos de acumulação
Tenho tentado aprender um pouco sobre limites de sequências e pontos de acumulação para ter uma melhor intuição por trás do funcionamento do cálculo e me confundi com as definições de limites, pontos limites e pontos de acumulação de sequências e conjuntos.
Minha primeira pergunta é um limite de uma sequência igual ao ponto de acumulação e é igual ao ponto limite eu procurei online e é tudo muito vago. Minha segunda confusão é que o limite de uma sequência é igual ao limite de um conjunto, caso contrário, há alguma prova ou explicação intuitiva de por que não?
Eu sei que este é provavelmente um conceito muito simples e provavelmente trivial para todos vocês aqui, mas me confundiu muito. desde já, obrigado
Respostas
Um ponto limite é a mesma coisa que um ponto de acumulação, e sua definição é que:
Um ponto $x$ é um ponto limite de um conjunto $A$ se para cada bairro $S$ de $x$ existe $y \in S$ de tal modo que $y \in A$, $y \neq x$.
Eu prefiro fortemente o nome "ponto de acumulação", porque você não está assumindo limites aqui ... é o contrário! Para poder fazer limites, você normalmente precisa de pontos de acumulação, uma vez que a definição topológica de um limite requer pegar vizinhanças e computar a função nelas.
Sobre sua segunda pergunta:
Um ponto $x$é um ponto de acumulação para uma sequência $\{x_n\}$ se houver vizinhança $S$ de $x$ é tal que existem infinitos índices $n$ de tal modo que $x_n \in S$.
É essencialmente a mesma definição acima, mas você pega $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. No entanto, um ponto é um ponto limite para uma sequência se todos os índices após um certo$n$estão em qualquer bairro. Formalmente:
Um ponto $x$ é o limite de uma sequência $\{x_n\}$ se houver vizinhança $S$ de $x$ é tal que existe $N \in \mathbb{N}$ de tal modo que $x_n \in S$ para todos $n>N$.
E isso é mais forte do que simplesmente ser um ponto de acumulação: você pode ver a diferença considerando a sequência $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Qualquer bairro de$1$ contém infinitamente muitos pontos desta sequência, ou seja, todos os $x_{2n}$ depois de um certo $n$. Da mesma forma, qualquer bairro de$-1$ irá conter todos os $x_{2n+1}$ depois de um certo $n$, então ambos $1$ e $-1$ são pontos de cluster para $x_n$. No entanto, não há limite (na verdade, os limites são únicos, se existirem).
Há uma diferença entre limite e ponto limite. O conceito é definido para sequências e funções, mas o ponto limite é definido para conjuntos, conforme mencionado na resposta acima. Uma sequência pode ter um ponto limite, mas nenhum limite. Por exemplo, deixe$\{a_n\}$ é definido como $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Que $a_n=1+\frac{1}{n} $ para n's ímpares e $a_n=-1+\frac{1}{n} $para pares. Nesta sequência, ambos$1$ e $-1$ são pontos limite, mas a sequência não é convergente e não há limite.